\documentclass[10pt]{beamer}
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\usepackage{centernot}
\usepackage[thicklines]{cancel}
\newcommand*{\mynot}[1]{\renewcommand{\CancelColor}{\color{#1}}\cancel}
\def\cnot{\mynot{red}}
%\def\cnot{\not\mathrel}


\def\And{\wedge}
\def\Or{\vee}
\def\AND{\bigwedge}
\def\OR{\bigvee}
\def\iff{\Leftrightarrow}
\def\tto{\Rightarrow}
\def\Iff{\Longleftrightarrow}
\def\Tto{\Longrightarrow}
\newcommand{\TtoB}[1]{\stackrel{\corB{#1}}{\Tto}}
\newcommand{\IffB}[1]{\stackrel{\corB{#1}}{\Iff}}
\newcommand{\EqB}[1]{\stackrel{\cor{#1}}{=}}

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\def\ZZ{{\mathbb Z}}
\def\CC{{\mathbb C}}
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\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{question}[theorem]{Question}

\begin{document}

\setbeamercovered{highly dynamic}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{\centering
\huge{\alert{Capítulo 5.6\\INDUÇÃO MATEMÁTICA\\COMPLETA (ou FORTE)}}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Indução Matemática Forte (ou Completa)}

\begin{block}{Princípio da Indução Matemática Forte}
\begin{itemize}
\item A indução matemática normal é contemplada pela indução forte.
\item \cor{Indução normal 1:} Provar que vale para $n+1$ assumindo que vale para $n$
\item \cor{Indução normal 2:} Provar que vale para $n$ assumindo que vale para $n-1$
\item \cor{Indução forte:} Provar que vale para $n$ assumindo que vale para todo valor menor que $n$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Números $F_n$ de Fibonacci}

\begin{block}{Números de Fibonacci:\ \ $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\ldots$}
\begin{itemize}
\item $F_0=0;\ \ \ F_1=1$
\item $F_n\ =\ F_{n-1}+F_{n-2},\ \ \forall n\geq 2$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Limite superior: $F_{n}<2^n,\ \ \forall n\geq 0$}
\begin{itemize}
\item\textbf{Caso base:} $F_0=0<1=2^0$;\ \ \ $F_1=1<2^1$
\item\textbf{H.I.:} Fixe $n\geq 2$ e suponha $F_k<2^k,\ \forall\ 0\leq k<n$
\item\textbf{P.I.:} \alert{Vamos provar que $F_n<2^n$.}
\item $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}<2^{n-1}+2^{n-2}=3\cdot 2^{n-2}<4\cdot 2^{n-2}\ =\ 2^n$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Números $F_n$ de Fibonacci}

\begin{block}{Números de Fibonacci:\ \ $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\ldots$}
\begin{itemize}
\item $F_0=0;\ \ \ F_1=1$
\item $F_n\ =\ F_{n-1}+F_{n-2},\ \ \forall n\geq 2$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Limite inferior: $F_n> (1.6^n)/3,\ \ \forall n>0$}
\begin{itemize}
\item\textbf{Caso base:} $F_1=1> 1.6^1/3$;\ \ $F_2=1> 1.6^2/3$
\item\textbf{H.I.:} Fixe $n\geq 3$ e suponha $F_k> 1.6^k/3,\ \forall\ 1\leq k<n$
\item\textbf{P.I.:} \alert{Vamos provar que $F_n> 1.6^n/3$.}
\item $F_n\ =\ F_{n-1}+F_{n-2}\ >\ 1.6^{n-1}/3+1.6^{n-2}/3\ =$
\item $=\ 2.6\cdot(1.6)^{n-2}/3\ >\ 2.56\cdot(1.6)^{n-2}/3\ =\ 1.6^n/3$
\end{itemize}
\end{block}
}




















%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Números $F_n$ de Fibonacci}

\begin{block}{Números de Fibonacci:\ \ $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\ldots$}
\begin{itemize}
\item $F_0=0;\ \ \ F_1=1$
\item $F_n\ =\ F_{n-1}+F_{n-2},\ \ \forall n\geq 2$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Limite superior: $F_{n}<1.618^n,\ \ \forall n\geq 0$}
\begin{itemize}
\item\textbf{Proporção Áurea:} \alert{$x=(1+\sqrt{5})/2=1.618\ \Tto\ x^2=x+1$.}
\item\textbf{Caso base:} $F_0=0<1=1.618^0$;\ \ \ $F_1=1<1.618^1$
\item\textbf{H.I.:} Fixe $n\geq 2$ e suponha $F_k<1.618^k,\ \forall\ 0\leq k<n$
\item\textbf{P.I.:} \alert{Vamos provar que $F_n<1.618^n$.}
\item $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}<1.618^{n-1}+1.618^{n-2}=$
\item $=(2.618)\cdot 1.618^{n-2}=(1.618)^2\cdot 1.618^{n-2}\ =\ 1.618^n$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Números $F_n$ de Fibonacci}

\begin{block}{Números de Fibonacci:\ \ $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\ldots$}
\begin{itemize}
\item $F_0=0;\ \ \ F_1=1$
\item $F_n\ =\ F_{n-1}+F_{n-2},\ \ \forall n\geq 2$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Limite inferior: $F_n> (1.618^n)/3,\ \ \forall n>0$}
\begin{itemize}
\item\textbf{Proporção Áurea:} \alert{$x=(1+\sqrt{5})/2=1.618\ \Tto\ x^2=x+1$.}
\item\textbf{Caso base:} $F_1=1> 1.618^1/3$;\ \ $F_2=1> 1.618^2/3$
\item\textbf{H.I.:} Fixe $n\geq 3$ e suponha $F_k>1.618^k/3,\ \forall\ 1\leq k<n$
\item\textbf{P.I.:} \alert{Vamos provar que $F_n> 1.618^n/3$.}
\item $F_n\ =\ F_{n-1}+F_{n-2}\ >\ 1.618^{n-1}/3+1.618^{n-2}/3\ =$
\item $=\ (2.618)\cdot 1.618^{n-2}/3\ =\ (1.618)^2\cdot 1.618^{n-2}/3\ =\ 1.618^n/3$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Números $F_n$ de Fibonacci:\ \ $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots$}
\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fibonacci.png}
%\caption{}
\end{figure}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Números $F_n$ de Fibonacci:\ \ $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots$}

\begin{itemize}
\item $F_0=0;\ \ \ F_1=1$;\ \ \ $F_n\ =\ F_{n-1}+F_{n-2},\ \ \forall n\geq 2$
\item Proporção Áurea: \alert{$x^2-x-1=0\ \Tto$ raízes $\alpha,\beta=(1\pm\sqrt{5})/2$.}
\item Provar por indução que: $F(n)=F'(n)$, onde
\end{itemize}
\[
F'(n)\ =\ \frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}\ =\ \frac{1}{\sqrt{5}}
\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}
\]



\begin{block}{Prova por Indução Forte}
\begin{itemize}
\item \cor{BASE:} $F'(0)=0$ e $F'(1)=1$. \alert{OK} 
\item \cor{Hipótese de Indução:} Fixe $n\geq 2$ e suponha valer para todo valor $k=0,\ldots,n-1$.
\item \alert{Passo da Indução}: Vamos provar que vale para $n$.
\item $F(n)\ =\ F(n-1)+F(n-2)\ =\ F'(n-1)+F'(n-2)$. Logo:
\[
  F(n)\ =\ \frac{\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}+\alpha^{n-2}-\beta^{n-2}}{\alpha-\beta}\ =\ \frac{\alpha^{n-2}(\alpha+1)-\beta^{n-2}(\beta+1)}{\alpha-\beta}
\]
\item $F(n)\ =\ (\alpha^{n-2}\cdot\alpha^2\ -\ \beta^{n-2}\cdot\beta^2)/(\alpha-\beta)\ =\ F'(n)$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Números $F_n$ de Fibonacci:\ \ $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots$}
\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fibonacci2.png}
%\caption{}
\end{figure}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\frame{
%\frametitle{Proporção Áurea}

%\textbf{Proporção Áurea:} \alert{$x=(1+\sqrt{5})/2=1.618\ \Tto\ x^2=x+1$.}

%Dizemos que $a>b$ estão em proporção áurea se $(a+b)/a\ =\ a/b$, o que implica que $a/b=1.618$. Nesse caso, vale:
%\[
%  \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\frac{b}{a-b}=\frac{a-b}{2b-a}=\frac{2b-a}{2a-3b}=\frac{2a-3b}{5b-3a}=\frac{5b-3a}{5a-8b}
%\]

%\begin{figure}\centering
%\includegraphics[scale=0.5]{fibonacci2.png}
%\end{figure}
%}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Exercícios de prova passada}

\alert{Prove que} $\forall n\geq 700:\ \ n\ <\ (1.01)^n$.\ \ {\bf Dica:} $(1.01)^{231}<10<(1.01)^{232}$.
\begin{itemize}
\item Base: $696<700<10^3<(1.01)^{3\cdot 232}=(1.01)^{696}<1.01^{700}$
\item H.I: Fixe $n>700$ e assuma valer para todo inteiro $700\leq k<n$.
\item P.I.: $1.01^n=1.01\cdot(1.01^{n-1})>1.01\cdot(n-1)=n+0.01\cdot(n-100)>n$
\end{itemize}

\alert{Prove que} $\forall n\geq 96:\ \ n^2\ <\ (1.1)^n$.\ \ \ {\bf Dica:} $(1.1)^{23}<10<(1.1)^{24}$.
\begin{itemize}
\item Base: $(96)^2<(100)^2=10^4<(1.1)^{4\cdot 24}=(1.1)^{96}$
\item H.I: Fixe $n>96$ e assuma valer para todo inteiro $96\leq k<n$.
\item P.I.: $1.1^n=1.1\cdot(1.1^{n-1})>1.1\cdot(n-1)^2=n^2+0.1\cdot(n^2-22n+10)>n^2$
\end{itemize}

\alert{Prove que} $\forall n\geq 100:\ \ n^{10}\ <\ 2^n$.\ \ \ \ \ {\bf Dica:} $10^3<2^{10}$\ \ e\ \ $(1.01)^{10}<2$.
\begin{itemize}
\item Base: $100^{10}=10^{20}<10^{30}=(1000)^{10}<1024^{10}=2^{100}$
\item H.I: Fixe $n>100$ e assuma valer para todo inteiro $100\leq k<n$.
\item P.I.: $2^n=2\cdot 2^{n-1}>2(n-1)^{10}>(1.01)^{10}(n-1)^{10}=$
\item $=(1.01n-1.01)^{10}=(n+0.01\cdot(n-101))^{10}\geq n^{10}$
\end{itemize}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Exercícios de prova passada}
\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.5]{prova1.inducao1.png}
%\caption{}
\end{figure}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Exercícios de prova passada}
\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.5]{prova1.inducao2.png}
%\caption{}
\end{figure}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Exercícios de prova passada}

\alert{\bf Prove que}, para todo inteiro $n\geq 2$, o {\bf complemento da interseção} de $n$ conjuntos quaisquer $A_1,A_2,\ldots,A_n$ é igual a \cor{união dos complementos} desses $n$ conjuntos.

\vspace{1cm}
\cor{Prova por indução forte} (apesar da indução normal ser suficiente)

\begin{itemize}
\item \cor{\bf Base} $n=2$: $\overline{A_1\cap A_2}\ =\ \overline{A_1}\cup\overline{A_2}$ (OK por De Morgan)
\item \cor{\bf H.I:} Fixe $n>2$ e assuma valer para todo inteiro $2\leq k<n$.
\item \cor{\bf P.I.:} Vamos provar que vale para $n$
\end{itemize}
\[
  \overline{A_1\cap\ldots\cap A_{n-1}\cap A_n}\ =\ \overline{A_1\cap\ldots\cap A_{n-1}}\ \cup\ \overline{A_n}\ =\ \overline{A_1}\cup\ldots\cup\overline{A_{n-1}}\cup\overline{A_n}
\]
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Exercícios de prova passada}

\alert{\bf Prove que}, para todo inteiro $n\geq 2$, o {\bf complemento da união} de $n$ conjuntos quaisquer $A_1,\ldots,A_n$ é igual a \cor{interseção dos complementos} desses $n$ conjuntos.

\vspace{1cm}
\cor{Prova por indução forte} (apesar da indução normal ser suficiente)

\begin{itemize}
\item \cor{\bf Base} $n=2$: $\overline{A_1\cup A_2}\ =\ \overline{A_1}\cap\overline{A_2}$ (OK por De Morgan)
\item \cor{\bf H.I:} Fixe $n>2$ e assuma valer para todo inteiro $2\leq k<n$.
\item \cor{\bf P.I.:} Vamos provar que vale para $n$
\end{itemize}
\[
  \overline{A_1\cup\ldots\cup A_{n-1}\cup A_n}\ =\ \overline{A_1\cup\ldots\cup A_{n-1}}\ \cap\ \overline{A_n}\ =\ \overline{A_1}\cap\ldots\cap\overline{A_{n-1}}\cap\overline{A_n}
\]
}


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\frame{\centering
\huge{\alert{Capítulo 6\\RELAÇÕES}}
}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações - Exercício 6.1}

\begin{block}{Exercício 6.1:}
Seja $A$ o conjunto de todas as pessoas vivas hoje. Seja $\mathcal{R}$ o conjunto de todos os pares $(p,q)\in A\times A$ tais que a pessoa $p$ é filha ou filho da pessoa $q$. Descreva os conjuntos $Dom(\mathcal{R})$, $Img(\mathcal{R})$, $Dom(\mathcal{R})\cap Img(\mathcal{R})$ e $Dom(\mathcal{R})\cup Img(\mathcal{R})$.
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item $Dom(\mathcal{R})\ =\ $conjunto das pessoas vivas com pai ou mãe vivos.
\item $Img(\mathcal{R})\ =\ $conjunto das pessoas vivas com um filho vivo.
\item $Dom(\mathcal{R})\cap Img(\mathcal{R})\ =\ $conjunto das pessoas vivas com pai ou mãe vivos e um filho vivo.
\item $Dom(\mathcal{R})\cup Img(\mathcal{R})\ =\ $conjunto das pessoas vivas com pai, mãe ou um filho vivos.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações - Exercício 6.2}

\begin{block}{Exercício 6.2:}
Seja $\mathcal{R}$ a relação que consiste de todos os pares $(x,y)$ de números reais tais que $(x^2-2)^2+y^2=1$. Determine $Dom(\mathcal{R})$ e $Img(\mathcal{R}))$.
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item $(x^2-2)^2=1-y^2\ \Tto\ 1-y^2\geq 0\ \Tto\ y^2\in[0,1]\ \Tto\ y\in[-1,1]$.
\item $Img(\mathcal{R})\ =\ [-1,1]$
\item $(x^2-2)=\pm\sqrt{1-y^2}\ \Tto\ x=\pm\sqrt{2\pm\sqrt{1-y^2}}$
\item $y\in[-1,1]\ \Tto\ \sqrt{1-y^2}\in[0,1]\ \Tto\ 2\pm\sqrt{1-y^2}\in[1,3]$
\item $\Tto\ \sqrt{2\pm\sqrt{1-y^2}}\in[1,\sqrt{3}]\ \Tto\ x\in[-\sqrt{3},-1]\cup[1,\sqrt{3}]$
\item $Dom(\mathcal{R})\ =\ [-\sqrt{3},-1]\cup[1,\sqrt{3}]$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações - Exercício 6.3}

\begin{block}{Exercício 6.3:}
Seja $A$ o conjunto dos inteiros entre $0$ e $10$, inclusive. Seja $\mathcal{R}$ a relação com todos os pares da forma $(x,x^2-5)$ que estão em $A\times A$. Determine $Dom(\mathcal{R})$ e $Img(\mathcal{R}))$.
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item \alert{$(0,0-5)$, $(1,1-5)$, $(2,4-5)$}
\item \cor{$(3,9-5)$}$\ =\ (3,4)$
\item \alert{$(4,16-5)$, $(5,25-5)$, $\ldots$, $(10,100-5)$}
\item $x^2-5\geq 0\ \Tto\ x^2\geq 5\ \Tto\ x\geq 3$
\item $x^2-5\leq 10\ \Tto\ x^2\leq 15\ \Tto\ x\leq 3$
\item $\mathcal{R}=\{(3,4)\}\ \Tto\ Dom(\mathcal{R})=\{3\}$ e $Img(\mathcal{R})=\{4\}$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações - Exercício 6.4}

\begin{block}{Exercício 6.4:}
Prove que, para qualquer relação $\mathcal{R}$, a imagem $Img(\mathcal{R})$ é vazia se e somente se o domínio $Dom(\mathcal{R})$ é vazio.
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item $\mathcal{R}=\emptyset\ \Tto\ \nexists(a,b)\in\mathcal{R}\ \Tto\ Img(\mathcal{R})=\emptyset$
\item $\mathcal{R}\ne\emptyset\ \Tto\ \exists(a,b)\in\mathcal{R}\ \Tto\ \exists b: b\in Img(\mathcal{R})\ \Tto\ Img(\mathcal{R})\ne\emptyset$
\item\alert{Conclusão:} $\ Img(\mathcal{R})=\emptyset\ \Iff\ \mathcal{R}=\emptyset$
\item\alert{Analogamente:} $\ Dom(\mathcal{R})=\emptyset\ \Iff\ \mathcal{R}=\emptyset$
\item \cor{Portanto:} $\ Img(\mathcal{R})=\emptyset\ \Iff\ \mathcal{R}=\emptyset\ \Iff Dom(\mathcal{R})=\emptyset$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Relações restritas}

\begin{block}{Definição de \textbf{restrição} de uma relação}
Seja $R$ uma relação. Para conjuntos quaisquer $A$ e $B$, definimos $R[A,B]$ como sendo a \textbf{restrição} de $R$ a $A$ e $B$: ou seja, $R[A,B]=R\cap(A\times B)$. Por simplicidade, seja $R[A]=R[A,A]$.
\end{block}

\begin{block}{Propriedades das relações restritas}
\begin{itemize}
\item[P1:] \alert{$R[A\cap B] = R[A]\cap R[B]$}
\item[P2:] $R[A\cup B]\supseteq R[A]\cup R[B]$
\item[P3:] $R[A-B]\subseteq R[A]-R[B]$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Demonstração-P1: seja $(x,y)\in R$}
\begin{itemize}
\item $(x,y)\in R[A\cap B]\ \Iff\ x\in A\cap B\ \And\ y\in A\cap B\ \Iff\ $
\item $\Iff\ x\in A\ \And\ x\in B\ \And\ y\in A\ \And\ y\in B\ \Iff\ $
\item $\Iff\ (x,y)\in R[A]\ \And\ (x,y)\in R[B]\ \Iff\ (x,y)\in R[A]\cap R[B]$
\item\ \ \ $\square$
\end{itemize}
\end{block}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Relações restritas}

\begin{block}{Definição de \textbf{restrição} de uma relação}
Seja $R$ uma relação. Para conjuntos quaisquer $A$ e $B$, definimos $R[A,B]$ como sendo a \textbf{restrição} de $R$ a $A$ e $B$: ou seja, $R[A,B]=R\cap(A\times B)$. Por simplicidade, seja $R[A]=R[A,A]$.
\end{block}

\begin{block}{Propriedades das relações restritas}
\begin{itemize}
\item[P1:] $R[A\cap B] = R[A]\cap R[B]$
\item[P2:] \alert{$R[A\cup B]\supseteq R[A]\cup R[B]$}
\item[P3:] $R[A-B]\subseteq R[A]-R[B]$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Demonstração-P2: seja $(x,y)\in R$}
\begin{itemize}
\item $(x,y)\in R[A]\cup R[B]\ \Iff\ (x,y)\in R[A]\ \Or\ (x,y)\in R[B]\ \Iff\ $
\item $\Iff\ (x\in A\ \And y\in A)\ \Or\ (x\in B\ \And y\in B)\ \Iff\ $
\item $\Iff\ (x\in A\ \Or x\in B)\ \And\ (y\in A\ \Or y\in B)\ \And\ (-\Or-)\And(-\Or-)\Tto$
\item $\Tto\ x\in A\cup B\ \And y\in A\cup B\ \Iff\ (x,y)\in R[A\cup B]$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Relações restritas}

\begin{block}{Definição de \textbf{restrição} de uma relação}
Seja $R$ uma relação. Para conjuntos quaisquer $A$ e $B$, definimos $R[A,B]$ como sendo a \textbf{restrição} de $R$ a $A$ e $B$: ou seja, $R[A,B]=R\cap(A\times B)$. Por simplicidade, seja $R[A]=R[A,A]$.
\end{block}

\begin{block}{Propriedades das relações restritas}
\begin{itemize}
\item[P1:] $R[A\cap B] = R[A]\cap R[B]$
\item[P2:] \alert{$R[A\cup B]\supseteq R[A]\cup R[B]$}
\item[P3:] $R[A-B]\subseteq R[A]-R[B]$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Demonstração-P2: contraexemplo para igualdade}
\begin{itemize}
\item $R=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)\}$,\ \ \ $A=\{1\}$,\ \ \ $B=\{2\}$
\item $R[A]=\{(1,1)\}$,\ \ \ $R[B]=\{(2,2)\}$,\ \ \ $R[A]\cup R[B]=\{(1,1),(2,2)\}$
\item $R[A\cup B]=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$
\item \ \ \ $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Relações restritas}

\begin{block}{Definição de \textbf{restrição} de uma relação}
Seja $R$ uma relação. Para conjuntos quaisquer $A$ e $B$, definimos $R[A,B]$ como sendo a \textbf{restrição} de $R$ a $A$ e $B$: ou seja, $R[A,B]=R\cap(A\times B)$. Por simplicidade, seja $R[A]=R[A,A]$.
\end{block}

\begin{block}{Propriedades das relações restritas}
\begin{itemize}
\item[P1:] $R[A\cap B] = R[A]\cap R[B]$
\item[P2:] $R[A\cup B]\supseteq R[A]\cup R[B]$
\item[P3:] \alert{$R[A-B]\subseteq R[A]-R[B]$}
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Demonstração-P3: seja $(x,y)\in R$}
\begin{itemize}
\item $(x,y)\in R[A-B]\ \Iff\ x\in A-B\ \And\ y\in A-B\ \Iff\ $
\item $\Iff\ (x\in A)\ \And\ (x\not\in B)\ \And\ (y\in A)\ \And (y\not\in B)\ \Tto\ $
\item $\Tto\ ((x,y)\in R[A])\ \And\ ((x,y)\not\in R[B])\Iff$
\item $\Iff\ (x,y)\in R[A]-R[B]$\ \ \ $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Relações restritas}

\begin{block}{Definição de \textbf{restrição} de uma relação}
Seja $R$ uma relação. Para conjuntos quaisquer $A$ e $B$, definimos $R[A,B]$ como sendo a \textbf{restrição} de $R$ a $A$ e $B$: ou seja, $R[A,B]=R\cap(A\times B)$. Por simplicidade, seja $R[A]=R[A,A]$.
\end{block}

\begin{block}{Propriedades das relações restritas}
\begin{itemize}
\item[P1:] $R[A\cap B] = R[A]\cap R[B]$
\item[P2:] $R[A\cup B]\supseteq R[A]\cup R[B]$
\item[P3:] \alert{$R[A-B]\subseteq R[A]-R[B]$}
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Demonstração-P3: contraexemplo para igualdade}
\begin{itemize}
\item $R=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)\}$,\ \ \ $A=\{1,2\}$,\ \ \ $B=\{2,3\}$
\item $R[A]=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$,\ \ \ $R[B]=\{(2,2),(3,3)\}$
\item $R[A]-R[B]=\{(1,1),(1,2),(2,1)\}$
\item $A-B=\{1\}\ \Tto\ R[A-B]=\{(1,1)\}$\ \ \ $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Relações restritas}

\begin{block}{Definição de \textbf{restrição} de uma relação}
Seja $R$ uma relação. Para conjuntos quaisquer $A$ e $B$, definimos $R[A,B]$ como sendo a \textbf{restrição} de $R$ a $A$ e $B$: ou seja, $R[A,B]=R\cap(A\times B)$. Por simplicidade, seja $R[A]=R[A,A]$.
\end{block}

\begin{block}{Propriedades das relações restritas}
\begin{itemize}
\item[P1:] $R[A\cap B] = R[A]\cap R[B]$
\item[P2:] $R[A\cup B]\supseteq R[A]\cup R[B]$
\item[P3:] $R[A-B]\subseteq R[A]-R[B]$
\item[P1++:] \alert{$R[A\cap B,\ X\cap Y]\ =\ R[A,X]\ \cap\ R[B,Y]$}
\item[P2++:] \alert{$R[A\cup B,\ X\cup Y]\ \supseteq\ R[A,X]\ \cup\ R[B,Y]$}
\item[P3++:] \alert{$R[A-B,\ X-Y]\ \subseteq\ R[A,X]-R[B,Y]$}
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Relações - Exercício 6.7}

\begin{block}{Exercício 6.7:}
Seja $R$ o conjunto de todos os pares $(x,x^2)$ onde $x$ é um número inteiro. Seja $S$ o
conjunto de todos os pares $(3y,y)$ onde $y$ é um número natural. Descreva as relações $R\circ S$ e $S\circ R$.
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item $(x,y)\in S\circ R\ \Iff\ \exists z: (x,z)\in R\And (z,y)\in S\Iff$
\item $\Iff x^2=z=3y\ \Iff\ y=x^2/3\ \Iff\ x=3a\ (a\in\ZZ)\Iff$
\item $S\circ R=\{(3a,3a^2):\ a\in\ZZ\}$
\item $\square$
\item $(x,y)\in R\circ S\ \Iff\ \exists z\in\NN: (x,z)\in S\And (z,y)\in R\Iff$
\item $\Iff x=3z \And y=z^2\ \Iff\ y=x^2/9\ \Iff\ x=3a\ (a\in\NN)\Iff$
\item $R\circ S=\{(3a,a^2):\ a\in\NN\}$
\item $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Relações - Exercício 6.8}

\begin{block}{Algumas propriedades sobre Existenciais}
\begin{itemize}
\item $\Big(\exists x: P(x)\And Q(x)\Big)\ \Tto\ \Big(\exists x: P(x)\Big)\And\Big(\exists x': Q(x')\Big)$
\item $\Big(\exists x: P(x)\Or Q(x)\Big)\ \Iff\ \Big(\exists x: P(x)\Big)\Or\Big(\exists x': Q(x')\Big)$
\item $\Big(\exists x: P(x)\Big)\And\Big(\forall x': P(x')\to Q(x')\Big)\ \Tto\ \Big(\exists x: P(x)\And Q(x)\Big)$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{figure}\centering\scalebox{0.8}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vertex}=[draw,circle,fill=yellow!25,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node[vertex] (x) at (0,0) {$x$};
\node[vertex] (z) at (2,1) {$z$};
\node[vertex] (z2)at (2,-1) {$z'$};
\node[vertex] (y) at (4,0) {$y$};

\path[->, blue, thick]
(x) edge node[above]{$T$} (z) edge node[below]{$T$} (z2);

\path[->, red, thick]
(z) edge node[above]{$R$} (y);

\path[->, green, thick]
(z2) edge node[below]{$S$} (y);
\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Relações - Exercício 6.8}

\begin{block}{Exercício 6.8:}
Sejam $R,S,T$ relações quaisquer. Prove que:
\begin{itemize}
\item \alert{$(R\cap S)\circ T\ \subseteq\ R\circ T\ \cap\ S\circ T$}
\item $(R\cup S)\circ T\ =\ R\circ T\ \cup\ S\circ T$
\item $(R-S)\circ T    \ \supseteq\ R\circ T\   - \ S\circ T$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item $(x,y)\in(R\cap S)\circ T\iff \exists z: (x,z)\in T\And(z,y)\in R\cap S\iff$
\item $\iff\exists z: (x,z)\in T\And(z,y)\in R\And(z,y)\in S\alert{\tto}$
\item $\alert{\tto}(\exists z: (x,z)\in T\And(z,y)\in R)\And(\exists z': (x,z')\in T\And(z',y)\in S)\iff$
\item $\iff(x,y)\in R\circ T\And(x,y)\in S\circ T\iff$
\item $\iff(x,y)\in R\circ T\ \cap\ S\circ T\ \ \ \square$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Contraexemplo da igualdade}
\begin{itemize}
\item $T=\{(x,z),(x,z')\}$, $R=\{(z,y)\}$, $S=\{(z',y)\}\ \tto$
\item $\tto\ R\cap S=\emptyset\tto(R\cap S)\circ T=\emptyset$
\item $R\circ T=\{(x,y)\}$ e $S\circ T=\{(x,y)\}\ \tto\ R\circ T\ \cap\ S\circ T=\{(x,y)\}$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Relações - Exercício 6.8}

\begin{block}{Exercício 6.8:}
Sejam $R,S,T$ relações quaisquer. Prove que:
\begin{itemize}
\item $(R\cap S)\circ T\ \subseteq\ R\circ T\ \cap\ S\circ T$
\item \alert{$(R\cup S)\circ T\ =\ R\circ T\ \cup\ S\circ T$}
\item $(R-S)\circ T    \ \supseteq\ R\circ T\   - \ S\circ T$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item $(x,y)\in(R\cup S)\circ T\iff \exists z: (x,z)\in T\And(z,y)\in R\cup S\iff$
\item $\iff\exists z: (x,z)\in T\And((z,y)\in R\Or(z,y)\in S)\iff$
\item $\iff\exists z: ((x,z)\in T\And(z,y)\in R)\Or((x,z)\in T\And(z,y)\in S)\iff$
\item $\iff\exists z: ((x,z)\in T\And(z,y)\in R)\Or\exists z':((x,z')\in T\And(z',y)\in S)\iff$
\item $\iff(x,y)\in R\circ T\Or(x,y)\in S\circ T\iff$
\item $\iff(x,y)\in R\circ T\ \cup\ S\circ T\ \ \ \square$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Relações - Exercício 6.8}

\begin{block}{Exercício 6.8:}
Sejam $R,S,T$ relações quaisquer. Prove que:
\begin{itemize}
\item $(R\cap S)\circ T\ \subseteq\ R\circ T\ \cap\ S\circ T$
\item $(R\cup S)\circ T\ =\ R\circ T\ \cup\ S\circ T$
\item \alert{$(R-S)\circ T    \ \supseteq\ R\circ T\   - \ S\circ T$}
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item $(x,y)\in R\circ T\ -\ S\circ T\iff$
\item $\iff(x,y)\in R\circ T\And(x,y)\not\in S\circ T\iff$
\item $\iff\exists z: ((x,z)\in T\And(z,y)\in R)\And\forall z':(x,z')\in T\to(z',y)\not\in S)\alert{\tto}$
\item $\alert{\tto}\exists z: (x,z)\in T\And(z,y)\in R\And(z,y)\not\in S\iff$
\item $\iff\exists z: (x,z)\in T\And(z,y)\in R-S\iff(x,y)\in(R-S)\circ T$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Contraexemplo da igualdade}
\begin{itemize}
\item $T=\{(x,z),(x,z')\}$, $R=\{(z,y)\}$, $S=\{(z',y)\}\ \tto$
\item $\tto\ R-S=\{(z,y)\}\tto(R-S)\circ T=\{(x,y)\}$
\item $R\circ T=\{(x,y)\}$ e $S\circ T=\{(x,y)\}\ \tto\ R\circ T\ -\ S\circ T=\emptyset$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Relações - Exercício 6.8}

\begin{block}{Exercício 6.9:}
Seja $n\geq 1$ um número natural e $A$ o conjunto dos inteiros entre 1 e $n$, inclusive. Note que o conjunto $A\times A$ tem $n^2$ pares. Encontre duas relações $R$ e $S$ sobre $A$, cada uma com no máximo $2n$ pares, tal que $R\circ S$ seja o conjunto $A\times A$.
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item $S\ =\ \{(1,1),(2,1),(3,1),\ldots,(n,1)\}$
\item $R\ =\ \{(1,1),(1,2),(1,3),\ldots,(1,n)\}$
\item $\forall x,y\in A:\ (x,1)\in S$ e $(1,y)\in R$\ \ $\Tto$\ \ $(x,y)\in R\circ S$
\item $R\circ S\ =\ A\times A$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Inversa da Composta}

\begin{block}{Lema (inversa da composta)}
Dadas relações $R$ e $S$, temos que
\[
  (S\circ R)^{-1}\ =\ R^{-1}\circ S^{-1}
\]
\end{block}

\begin{block}{Prova:}
\begin{itemize}
\item $(x,y)\in(S\circ R)^{-1}\ \Iff\ (y,x)\in S\circ R\ \Iff$
\item $\Iff\ \exists z: (y,z)\in R\ \And (z,x)\in S\ \Iff$
\item $\Iff\ \exists z: (x,z)\in S^{-1}\ \And (z,y)\in R^{-1}\ \Iff$
\item $\Iff\ (x,y)\in R^{-1}\circ S^{-1}$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Associatividade da Composição de Relações}

\begin{block}{Lema}
Dadas relações $R$, $S$ e $T$, temos que:
\[
  T\circ(S\circ R)\ =\ (T\circ S)\circ R
\]
\end{block}

\begin{block}{Prova - Exercício 6.13}
\begin{itemize}
\item $(a,d)\in T\circ(S\circ R)\ \Iff\ \exists c: (a,c)\in S\circ R\And(c,d)\in T\Iff$
\item $\exists c: (\exists b: (a,b)\in R\And(b,c)\in S)\And(c,d)\in T\Iff$
\item $\exists b:\ \exists c: (a,b)\in R\And(b,c)\in S\And(c,d)\in T\Iff$
\item $\exists b: (a,b)\in R\And(b,d)\in T\circ S\ \Iff\ (a,d)\in (T\circ S)\circ R$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{figure}\centering\scalebox{0.8}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vertex}=[draw,circle,fill=yellow!25,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node[vertex] (a) at (0,0) {$a$};
\node[vertex] (b) at (2,0) {$b$};
\node[vertex] (c) at (4,0) {$c$};
\node[vertex] (d) at (6,0) {$d$};

\path[->, blue, thick]
(a) edge node[above]{$R$} (b);

\path[->, red, thick]
(b) edge node[above]{$S$} (c);

\path[->, green, thick]
(c) edge node[above]{$T$} (d);
\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Potência de uma Relação $R$}

\begin{block}{Definição recursiva}
$R^1=R$ e $\forall m\in\NN$, $m\geq 1$:\ \ $R^{m+1}=R^m\circ R$
\end{block}

\begin{block}{Exemplo:}
Seja $R$ a relação em $\NN$ tal que $(x,y)\in R\ \Iff\ y=x+1$.
Ou seja, $R=\{(0,1),\ (1,2),\ (2,3),\ldots\}$.
\end{block}

\begin{block}{Descreva $R^m$ para $m\geq 1$ qualquer}
\begin{itemize}
\item $\forall x\in\NN: (x,x+1)\in R$ e $(x+1,x+2)\in R$\ \ $\Iff$\ \ $(x,x+2)\in R^2$
\item $\forall x\in\NN: (x,x+1)\in R$ e $(x+1,x+3)\in R^2$\ \ $\Iff$\ \ $(x,x+3)\in R^3$
\item $\forall x\in\NN: (x,x+1)\in R$ e $(x+1,x+4)\in R^3$\ \ $\Iff$\ \ $(x,x+4)\in R^4$
\item $\ldots$
\item $R^m\ =\ \{(x,x+m)\ :\ x\in\NN\}$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Potência de uma Relação $R$}

\begin{block}{Definição recursiva}
$R^1=R$ e $\forall m\in\NN$, $m\geq 1$:\ \ $R^{m+1}=R^m\circ R$
\end{block}

\begin{block}{Exemplo:}
Seja $R$ a relação em $\NN$ tal que $(x,y)\in R\ \Iff\ y=x+1\ \Or\ y=x+2$.
Ou seja, $R=\{(x,x+1),\ (x,x+2)\ :\ x\in\NN\}$.\\
Ou seja, $R=\{(0,1),\ (0,2),\ (1,2),\ (1,3),\ (2,3),\ (2,4),\ldots\}$.
\end{block}

\begin{block}{Descreva $R^m$ para $m\geq 1$ qualquer}
\begin{itemize}
\item $R^2=\{(x,x+2),(x,x+3),(x,x+4)\ :\ x\in\NN\}$
\item $R^3=\{(x,x+3),(x,x+4),(x,x+5),(x,x+6)\ :\ x\in\NN\}$
\item $R^4=\{(x,x+4),\ldots,(x,x+8)\ :\ x\in\NN\}$
\item $\ldots$
\item $R^m\ =\ \{(x,x+m),\ldots,(x,x+2m)\ :\ x\in\NN\}$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Potência de uma Relação $R$}

\begin{block}{Definição recursiva}
$R^1=R$ e $\forall m\in\NN$, $m\geq 1$:\ \ $R^{m+1}=R^m\circ R$
\end{block}

\begin{block}{Exercício 6.16}
Prove que, para toda relação $R$ e quaisquer $m$ e $n$ inteiros positivos: $R^m\circ R^n = R^{m+n}$.
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item Prova por indução em $n$.
\item \textbf{Caso base:} $n=1\ \tto\ R^m\circ R^1\ =\ R^m\circ R\ =\ R^{m+1}$. OK
\item \textbf{HI:} Fixe $n>1$ e assuma que vale para todo $n'<n$. Ou seja, para todo $1\leq n'<n: R^m\circ R^{n'} = R^{m+n'}$.
\item \textbf{PI:} \cor{Vamos provar que vale para $n$.}
\item $R^m\circ R^n\ =\ R^m\circ(R^{n-1}\circ R)\ =\ (R^m\circ R^{n-1})\circ R\ =$
\item $=\ R^{m+n-1}\circ R\ =\ R^{m+n}$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Propriedades de Relações}

\begin{block}{Relação $R$ em $A$\ \ - \ \ $R\subseteq A\times A$\ - \ \ $Dom(R)\cup Img(R)\subseteq A$}
\begin{itemize}
\item Reflexiva sobre $A$: $\forall a\in A: (a,a)\in R$ \esp{15}\alert{Todos os laços}
\item Irreflexiva:\esp{13}$\nexists a: (a,a)\in R$ \esp{22}\alert{Nenhum laço}
\item Simétrica:\esp{13}$(x,y)\in R\ \Tto\ (y,x)\in R$ \esp{4}\alert{Vai e volta}
\item Antissimétrica:\esp{6}$(x,y)\in R,x\ne y\ \Tto\ (y,x)\not\in R$ \esp{1}\alert{Vai, não volta}
\item Transitiva:\esp{13}$(x,y)\in R\ \And\ (y,z)\in R\ \Tto\ (x,z)\in R$
\end{itemize}
\end{block}


\begin{block}{Exemplos: $A=\{1,2,3,4\}$}
\begin{itemize}
\item \textcolor{red}{\bf $R_1\ =\ \{(1,1),\ (1,2),\ (2,1),\ (2,2),\ (3,3),\ (3,4),\ (4,1),\ (4,4)\}$}
\item \textcolor{green}{\bf $R_2\ =\ \{(1,1),\ (1,2),\ (2,1)\}$}
\item \textcolor{blue}{\bf $R_3\ =\ \{(1,1),\ (1,2),\ (2,1),\ (2,2),\ (3,3),\ (1,4),\ (4,1),\ (4,4)\}$}
\end{itemize}
\end{block}


\begin{figure}\centering\scalebox{0.8}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=red!25,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\tikzstyle{vert2}=[draw,circle,fill=green!25,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\tikzstyle{vert3}=[draw,circle,fill=blue!25,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node[vert1] (a) at (0,2) {$1$};
\node[vert1] (b) at (2,2) {$2$};
\node[vert1] (c) at (2,0) {$3$};
\node[vert1] (d) at (0,0) {$4$};

\draw[->,red,thick] (a) to [bend right=15] (b);
\draw[->,red,thick] (b) to [bend right=15] (a);
\draw[->,red,thick] (c) to [bend right=15] (d);
\draw[->,red,thick] (d) to [bend right=15] (a);
\draw[->,red,thick] (a) to [out=150,in=210,looseness=10] (a);
\draw[->,red,thick] (b) to [out=-30,in=30,looseness=10] (b);
\draw[->,red,thick] (c) to [out=-30,in=30,looseness=10] (c);
\draw[->,red,thick] (d) to [out=150,in=210,looseness=10] (d);


\node[vert2] (a) at (5,1) {$1$};
\node[vert2] (b) at (7,1) {$2$};

\draw[->,green,thick] (a) to [bend right=15] (b);
\draw[->,green,thick] (b) to [bend right=15] (a);
\draw[->,green,thick] (a) to [out=150,in=210,looseness=10] (a);


\node[vert3] (a) at (10,2) {$1$};
\node[vert3] (b) at (12,2) {$2$};
\node[vert3] (c) at (12,0) {$3$};
\node[vert3] (d) at (10,0) {$4$};

\draw[->,blue,thick] (a) to [bend right=15] (b);
\draw[->,blue,thick] (b) to [bend right=15] (a);
\draw[->,blue,thick] (a) to [bend right=15] (d);
\draw[->,blue,thick] (d) to [bend right=15] (a);
\draw[->,blue,thick] (a) to [out=150,in=210,looseness=10] (a);
\draw[->,blue,thick] (b) to [out=-30,in=30,looseness=10] (b);
\draw[->,blue,thick] (c) to [out=-30,in=30,looseness=10] (c);
\draw[->,blue,thick] (d) to [out=150,in=210,looseness=10] (d);
\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Propriedades de Relações}

\begin{block}{Relação $R$ em $A$\ \ - \ \ $R\subseteq A\times A$\ - \ \ $Dom(R)\cup Img(R)\subseteq A$}
\begin{itemize}
\item Reflexiva sobre $A$: $\forall a\in A: (a,a)\in R$ \esp{15}\alert{Todos os laços}
\item Irreflexiva:\esp{13}$\nexists a: (a,a)\in R$ \esp{22}\alert{Nenhum laço}
\item Simétrica:\esp{13}$(x,y)\in R\ \Tto\ (y,x)\in R$ \esp{4}\alert{Vai e volta}
\item Antissimétrica:\esp{6}$(x,y)\in R,x\ne y\ \Tto\ (y,x)\not\in R$ \esp{1}\alert{Vai, não volta}
\item Transitiva:\esp{13}$(x,y)\in R\ \And\ (y,z)\in R\ \Tto\ (x,z)\in R$
\end{itemize}
\end{block}


\begin{block}{Exemplos: $A=\{1,2,3,4\}$}
\begin{itemize}
\item \textcolor{red}{\bf $R_4\ =\ \{(2,1),\ (3,1),\ (3,2),\ (4,1),\ (4,2),\ (4,3)\}$}
\item \textcolor{green}{\bf $R_5\ =\ \{(1,1),\ (1,2),\ (1,3),\ (1,4),\ (2,2),\ (2,3),\ (2,4),\ (3,3),\ (3,4),\ (4,4)\}$}
\item \textcolor{blue}{\bf $R_6\ =\ \{(3,4)\}$}
\end{itemize}
\end{block}


\begin{figure}\centering\scalebox{0.8}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=red!25,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\tikzstyle{vert2}=[draw,circle,fill=green!25,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\tikzstyle{vert3}=[draw,circle,fill=blue!25,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node[vert1] (a) at (0,2) {$1$};
\node[vert1] (b) at (2,2) {$2$};
\node[vert1] (c) at (2,0) {$3$};
\node[vert1] (d) at (0,0) {$4$};

\draw[->,red,thick] (b) to [bend right=15] (a);
\draw[->,red,thick] (c) to [bend right=15] (a);
\draw[->,red,thick] (c) to [bend right=15] (b);
\draw[->,red,thick] (d) to [bend right=15] (a);
\draw[->,red,thick] (d) to [bend right=15] (b);
\draw[->,red,thick] (d) to [bend right=15] (c);


\node[vert2] (a) at (5,2) {$1$};
\node[vert2] (b) at (7,2) {$2$};
\node[vert2] (c) at (7,0) {$3$};
\node[vert2] (d) at (5,0) {$4$};

\draw[->,green,thick] (a) to [bend right=15] (b);
\draw[->,green,thick] (a) to [bend right=15] (c);
\draw[->,green,thick] (a) to [bend right=15] (d);
\draw[->,green,thick] (b) to [bend right=15] (c);
\draw[->,green,thick] (b) to [bend right=15] (d);
\draw[->,green,thick] (c) to [bend right=15] (d);
\draw[->,green,thick] (a) to [out=150,in=210,looseness=10] (a);
\draw[->,green,thick] (b) to [out=-30,in=30,looseness=10] (b);
\draw[->,green,thick] (c) to [out=-30,in=30,looseness=10] (c);
\draw[->,green,thick] (d) to [out=150,in=210,looseness=10] (d);


\node[vert3] (c) at (10,1) {$3$};
\node[vert3] (d) at (12,1) {$4$};

\draw[->,blue,thick] (c) to [bend right=15] (d);

\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{6.3. Propriedades de Relações}

\begin{block}{Exercício 6.17}
Prove que uma relação $R$ é irreflexiva se e somente se ela é disjunta de $I_A$ onde
$A = Dom(R)$ \alert{ou $A=Img(R)$}.
\end{block}

\begin{block}{Lembretes:}
\begin{itemize}
\item $I_A\ =\ \{(a,a):\ a\in A\}$ (\alert{relação Identidade do conjunto $A$})
\item $R$ é irreflexiva se e só se $\nexists a: (a,a)\in R$.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item $R$ é irreflexiva\ $\Iff$\ $\nexists a: (a,a)\in R$\ $\Iff$
\item $\Iff\ \nexists a\in Dom(R): (a,a)\in R$\ $\Iff$\ $R\cap I_{Dom(R)}=\emptyset$
\item $\ldots$
\item $\Iff\ \nexists a\in Img(R): (a,a)\in R$\ $\Iff$\ $R\cap I_{Img(R)}=\emptyset$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{6.3. Propriedades de Relações}

\begin{block}{Exercício 6.18}
Prove que uma relação $R$ é simétrica se e somente se ela é igual à sua inversa.
\end{block}

\begin{block}{Lembretes:}
\begin{itemize}
\item $R^{-1}\ =\ \{(y,x):\ (x,y)\in R\}$ (\alert{relação Inversa de $R$})
\item $R$ é simétrica se e só se $\forall (x,y)\in R:\ (y,x)\in R$.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item $R$ é simétrica\ $\Iff$\ $\forall (x,y)\in R:\ (y,x)\in R$\ $\Iff$
\item $\Iff\ \forall (x,y)\in R:\ (x,y)\in R^{-1}$\ $\Iff$\ $R\subseteq R^{-1}\ \Iff$
\item $\ldots$
\item $\Iff\ \forall (y,x)\in R^{-1}:\ (y,x)\in R$\ $\Iff$\ $R^{-1}\subseteq R\ \Iff$
\item $\ldots$
\item $\Iff\ R=R^{-1}$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{6.3. Propriedades de Relações}

\begin{block}{Exercício 6.19}
Prove que uma relação $R$ é antissimétrica \alert{e irreflexiva} se e somente se ela é disjunta de sua inversa.
\end{block}

\begin{block}{Lembretes:}
\begin{itemize}
\item $A$ e $B$ são disjuntos se e só se $A\cap B=\emptyset$
\item $R^{-1}\ =\ \{(y,x):\ (x,y)\in R\}$ (\alert{relação Inversa de $R$})
\item $R$ é antissimétrica se e só se $\forall x\ne y:\ (x,y)\in R\tto(y,x)\not\in R$.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item $R$ é antissimétrica e irreflexiva\ $\Iff$\ $\forall (x,y)\in R: (y,x)\not\in R$\ $\Iff$
\item $\Iff\ \forall (x,y)\in R:\ (x,y)\not\in R^{-1}$\ $\Iff$\ $R\cap R^{-1}\ =\ \emptyset$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{6.3. Propriedades de Relações}

\begin{block}{Exercício 6.20}
Seja $R$ uma relação simétrica e transitiva sobre um conjunto $A$. Prove que, se para todo
$x\in A$, existe um $y\in A$ tal que $xRy$, então $R$ é reflexiva.
\end{block}

\begin{block}{Lembretes:}
\begin{itemize}
\item $xRy\ \ \Iff\ \ (x,y)\in R$
\item $R$ é simétrica se e só se $\forall (x,y)\in R:\ (y,x)\in R$.
\item $R$ é transitiva se e só se $\forall (x,y),(y,z)\in R:\ (x,z)\in R$.
\item $R$ é reflexiva sobre $A$ se e só se $\forall a\in A:\ (a,a)\in R$.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item Seja $R$ uma relação simétrica e transitiva tal que $\forall x\in A:\ \exists y: xRy$.
\item Seja $x$ um elemento qualquer de $A$. Logo existe $y$ tal que $(x,y)\in R$.
\item $R$ é simétrica: $(y,x)\in R$.
\item Como $R$ é transitiva: $(x,y)\in R \And (y,x)\in R$\ $\Iff$\ $(x,x)\in R$.
\item Como $\forall x\in A:\ (x,x)\in R$, então $R$ é reflexiva. 
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Propriedades de Relações}

\begin{block}{Exercício Lista 2}
Mostre que se $R$ é uma relação reflexiva e transitiva, então $R \cap
R^{-1}$ é uma reflexiva, simétrica e transitiva.
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item \textcolor{green}{REF:} $x\in Dom(R\cap R^{-1})\Tto(x,x)\in R\Tto(x,x)\in R^{-1}\Tto$
\item $\Tto\ (x,x)\in R\cap R^{-1}$\ $\Tto$\ \alert{$R\cap R^{-1}$ é reflexiva}
\item \textcolor{green}{SIM:} $(x,y)\in R\cap R^{-1}\Tto(x,y)\in R\Tto(y,x)\in R^{-1}$
\item \esp{8}$(x,y)\in R\cap R^{-1}\Tto(x,y)\in R^{-1}\Tto(y,x)\in R$
\item $(x,y)\in R\cap R^{-1}\Tto(y,x)\in R\cap R^{-1}$\ $\Tto$\ \alert{$R\cap R^{-1}$ é simétrica}
\item \textcolor{green}{TR:} $(x,y),(y,z)\in R\cap R^{-1}\Tto(x,y),(y,z)\in R\Tto(x,z)\in R$.
\item \esp{7}$(x,y),(y,z)\in R\cap R^{-1}\Tto(x,y),(y,z)\in R^{-1}\Tto$
\item $\Tto(z,y),(y,x)\in R\Tto(z,x)\in R\Tto(x,z)\in R^{-1}$.
\item $(x,y),(y,z)\in R\cap R^{-1}\tto(x,z)\in R\cap R^{-1}$$\tto$\alert{$R\cap R^{-1}$ é transitiva}
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Propriedades de Relações}

\begin{block}{Exercício Lista 2}
Sejam $A$ um conjunto e $R \subseteq A \times A$. Seja ainda $S=R^2=R\circ R$:
\[
S = \{ (a, a') \mid \exists a'' \in A, (a, a'') \in R \And (a'', a') \in
R \}.
\] 
Prove ou dê um contra-exemplo:
\begin{itemize}
\item[(a)] $R$ é reflexiva, simétrica e transitiva\ $\Tto$\ $S$ também o é.
\item[(b)] $S$ é reflexiva, simétrica e transitiva\ $\Tto$\ $R$ também o é.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução (b): Contraexemplo}
\begin{itemize}
\item $R=\{(1,2),\ (2,1)\}$\ $\Tto$\ $S=\{(1,1),\ (2,2)\}$\ $\Tto$
\item $\Tto$\ $S$ é reflexiva, simétrica e transitiva, mas $R$ \alert{não} é reflexiva.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{figure}\centering\scalebox{0.8}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=blue!25,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\tikzstyle{vert2}=[draw,circle,fill=red!25,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node[vert1] (a) at (0,0) {$1$};
\node[vert1] (b) at (2,0) {$2$};
\draw[->,blue,thick] (a) to [bend right=15] (b) node[above]{\textcolor{blue}{$R$}};
\draw[->,blue,thick] (b) to [bend right=15] (a) node[above]{\textcolor{blue}{$R$}};

\node[vert2] (a) at (6,0) {$1$};
\node[vert2] (b) at (8,0) {$2$};
\draw[->,red,thick] (a) to [out=60,in=120,looseness=10] (a) node[above]{\alert{$S$}};
\draw[->,red,thick] (b) to [out=60,in=120,looseness=10] (b) node[above]{\alert{$S$}};
\end{tikzpicture}}
\end{figure}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Propriedades de Relações}

\begin{block}{Exercício Lista 2}
Sejam $A$ um conjunto e $R \subseteq A \times A$. Seja ainda $S=R^2=R\circ R$:
\[
S = \{ (a, a') \mid \exists a'' \in A, (a, a'') \in R \And (a'', a') \in
R \}.
\] 
Prove ou dê um contra-exemplo:
\begin{itemize}
\item[(a)] $R$ é reflexiva, simétrica e transitiva\ $\Tto$\ $S$ também o é.
\item[(b)] $S$ é reflexiva, simétrica e transitiva\ $\Tto$\ $R$ também o é.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução (a):}
\begin{itemize}
\item \textcolor{green}{REF:} $a\in A$\ $\Tto$\ $(a,a)\in R$\ $\Tto$
\item $\Tto$\ $(a,a)\in R\And(a,a)\in R$\ $\Tto$\ $(a,a)\in S$\ $\Tto$\ \alert{$S$ é reflexiva}.
\item \textcolor{green}{SIM:} $(a,c)\in S$\ $\Tto$\ $\exists b: (a,b),(b,c)\in R$\ $\Tto$
\item $\Tto$\ $(c,b),(b,a)\in R$\ $\Tto$\ $(c,a)\in S$\ $\Tto$\ \alert{$S$ é simétrica}.
\item \textcolor{green}{TR:} $(a,c),(c,e)\in S$\ $\Tto$\ $\exists b,d: (a,b),(b,c),(c,d),(d,e)\in R$\ $\Tto$
\item $\Tto$\ $(a,c),(c,e)\in R$\ $\Tto$\ $(a,e)\in S$\ $\Tto$\ \alert{$S$ é transitiva}.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{6.3.1. Composição e Transitividade}

\begin{block}{Exercício 6.21}
Demonstre a afirmação, ou encontre um contraexemplo: ``Se $R^4\subseteq R$, então $R$ é transitiva''.
\end{block}

\begin{block}{Lembretes:}
\begin{itemize}
\item Teorema 6.3: $R$ é transitiva\ $\Iff$\ $R\circ R=R^2\subseteq R$
\item Teorema 6.4: $R$ é transitiva\ $\Iff$\ $R^n\subseteq R, \forall n\geq 1$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução: contraexemplo}
\begin{itemize}
\item $R=\{(1,2),\ (2,3),\ (3,1)\}$
\item $R^2=\{(1,3),\ (2,1),\ (3,2)\}$
\item $R^3=\{(1,1),\ (2,2),\ (3,3)\}$
\item $R^4=\{(1,2),\ (2,3),\ (3,1)\}$
\item $R^4=R$, mas $R$ \alert{não} é transitiva
\item $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{6.3.1. Composição e Transitividade}

\begin{block}{Exercício 6.21'}
Demonstre a afirmação, ou encontre um contraexemplo: ``Se $R^5\subseteq R$, então $R$ é transitiva''.
\end{block}

\begin{block}{Lembretes:}
\begin{itemize}
\item Teorema 6.3: $R$ é transitiva\ $\Iff$\ $R\circ R=R^2\subseteq R$
\item Teorema 6.4: $R$ é transitiva\ $\Iff$\ $R^n\subseteq R, \forall n\geq 1$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução: contraexemplo}
\begin{itemize}
\item $R  =\{(1,2),\ (2,3),\ (3,4),\ (4,1)\}$
\item $R^2=\{(1,3),\ (2,4),\ (3,1),\ (4,2)\}$
\item $R^3=\{(1,4),\ (2,1),\ (3,2),\ (4,3)\}$
\item $R^4=\{(1,1),\ (2,2),\ (3,3),\ (4,4)\}$
\item $R^5=\{(1,2),\ (2,3),\ (3,4),\ (4,1)\}$
\item $R^5=R$, mas $R$ \alert{não} é transitiva\ \ \ $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{6.3.1. Composição e Transitividade}

\begin{block}{Exercício 6.21''}
Demonstre a afirmação, ou encontre um contraexemplo: ``Se $R^3\subseteq R$, então $R$ é transitiva''.
\end{block}

\begin{block}{Lembretes:}
\begin{itemize}
\item Teorema 6.3: $R$ é transitiva\ $\Iff$\ $R\circ R=R^2\subseteq R$
\item Teorema 6.4: $R$ é transitiva\ $\Iff$\ $R^n\subseteq R, \forall n\geq 1$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução: contraexemplo}
\begin{itemize}
\item $R  =\{(1,2),\ (2,1)\}$
\item $R^2=\{(1,1),\ (2,2)\}$
\item $R^3=\{(1,2),\ (2,1)\}$
\item $R^3=R$, mas $R$ \alert{não} é transitiva\ \ \ $\square$
\item pois $(1,2)\in R$ e $(2,1)\in R$, mas $(1,1)\not\in R$ e $(2,2)\not\in R$
\item $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{6.4. Representação de Relações usando Matrizes}

\begin{block}{Notações $\sum$ (somatório) e $\prod$ (produtório)}
Sejam $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reais.
\[
  \sum_{k=1}^n x_k\ \ =\ \ x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n
\]
\[
  \prod_{k=1}^n x_k\ \ =\ \ x_1\ \cdot\ x_2\ \cdot\ x_3\ \cdot\ldots\cdot\ x_n
\]
\end{block}

\begin{block}{Notações $\AND$\ e\ $\OR$}
Sejam $S_1,S_2,\ldots,S_n$ sentenças lógicas (com valor \textbf{F} ou \textbf{V}).
\[
  \OR_{k=1}^n S_k\ \ =\ \ S_1\Or S_2\Or S_3\Or\ldots\Or S_n
\]
\[
  \AND_{k=1}^n S_k\ \ =\ \ S_1\And S_2\And S_3\And\ldots\And S_n
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{6.4. Representação de Relações usando Matrizes}

\begin{block}{Notações $\bigcap$ e $\bigcup$}
Sejam $C_1,C_2,\ldots,C_n$ conjuntos.
\[
  \bigcup_{k=1}^n C_k\ \ =\ \ C_1\cup C_2\cup C_3\cup\ldots\cup C_n
\]
\[
  \bigcap_{k=1}^n C_k\ \ =\ \ C_1\cap C_2\cap C_3\cap\ldots\cap C_n
\]
\end{block}

\begin{block}{Notações $\AND$\ e\ $\OR$}
Sejam $S_1,S_2,\ldots,S_n$ sentenças lógicas (com valor \textbf{F} ou \textbf{V}).
\[
  \OR_{k=1}^n S_k\ \ =\ \ S_1\Or S_2\Or S_3\Or\ldots\Or S_n
\]
\[
  \AND_{k=1}^n S_k\ \ =\ \ S_1\And S_2\And S_3\And\ldots\And S_n
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Fecho Reflexivo}

\begin{block}{Exemplo: $A=\{1,2,3,4,5\}$}
\begin{itemize}
\item \cor{$R\ =\ \{(1,2),\ (2,3),\ (3,4),\ (4,5)\}$}
\item
\item \alert{$I_A\ =\ \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)\}$}
\item Fecho Reflexivo de $R\ =\ R\ \cup\ I_A$
\end{itemize}
\end{block}


\begin{figure}\centering\scalebox{0.8}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=black!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node[vert1] (a) at (0,0) {$1$};
\node[vert1] (b) at (2,0) {$2$};
\node[vert1] (c) at (4,0) {$3$};
\node[vert1] (d) at (6,0) {$4$};
\node[vert1] (e) at (8,0) {$5$};

\draw[->,blue,thick] (a) to [bend left=15] (b); \node at (1,0.4) {$\cor{R}$};
\draw[->,blue,thick] (b) to [bend left=15] (c); \node at (3,0.4) {$\cor{R}$};
\draw[->,blue,thick] (c) to [bend left=15] (d); \node at (5,0.4) {$\cor{R}$};
\draw[->,blue,thick] (d) to [bend left=15] (e); \node at (7,0.4) {$\cor{R}$};

\draw[->,red] (a) to [out=-120,in=-60,looseness=10] (a); \node at (0,-1) {\alert{I$_A$}};
\draw[->,red] (b) to [out=-120,in=-60,looseness=10] (b); \node at (2,-1) {\alert{I$_A$}};
\draw[->,red] (c) to [out=-120,in=-60,looseness=10] (c); \node at (4,-1) {\alert{I$_A$}};
\draw[->,red] (d) to [out=-120,in=-60,looseness=10] (d); \node at (6,-1) {\alert{I$_A$}};
\draw[->,red] (e) to [out=-120,in=-60,looseness=10] (e); \node at (8,-1) {\alert{I$_A$}};

\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Fecho Simétrico}

\begin{block}{Exemplo: $A=\{1,2,3,4,5\}$}
\begin{itemize}
\item \cor{$R\ =\ \{(1,2),\ (2,3),\ (3,4),\ (4,5)\}$}
\item
\item \textcolor{green}{\bf $R^{-1}\ =\ \{(2,1),\ (3,2),\ (4,3),\ (5,4)\}$}
\item Fecho Simétrico de $R\ =\ R\ \cup\ R^{-1}$
\end{itemize}
\end{block}


\begin{figure}\centering\scalebox{0.8}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=black!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node[vert1] (a) at (0,0) {$1$};
\node[vert1] (b) at (2,0) {$2$};
\node[vert1] (c) at (4,0) {$3$};
\node[vert1] (d) at (6,0) {$4$};
\node[vert1] (e) at (8,0) {$5$};

\draw[->,blue,thick] (a) to [bend left=15] (b); \node at (1,0.4) {$\cor{R}$};
\draw[->,blue,thick] (b) to [bend left=15] (c); \node at (3,0.4) {$\cor{R}$};
\draw[->,blue,thick] (c) to [bend left=15] (d); \node at (5,0.4) {$\cor{R}$};
\draw[->,blue,thick] (d) to [bend left=15] (e); \node at (7,0.4) {$\cor{R}$};

\draw[->,green,thick] (b) to [bend left=15] (a); \node at (1,-0.4) {\textcolor{green}{\bf $R^{-1}$}};
\draw[->,green,thick] (c) to [bend left=15] (b); \node at (3,-0.4) {\textcolor{green}{\bf $R^{-1}$}};
\draw[->,green,thick] (d) to [bend left=15] (c); \node at (5,-0.4) {\textcolor{green}{\bf $R^{-1}$}};
\draw[->,green,thick] (e) to [bend left=15] (d); \node at (7,-0.4) {\textcolor{green}{\bf $R^{-1}$}};
\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Fecho Transitivo}

\begin{block}{Exemplo: $A=\{1,2,3,4,5\}$}
\begin{itemize}
\item \cor{$R\ =\ \{(1,2),\ (2,3),\ (3,4),\ (4,5)\}$}
\item
\item \alert{$R^2\ =\ \{(1,3), (2,4), (3,5)\}$}
\item \textcolor{green}{\bf $R^3\ =\ \{(1,4), (2,5)\}$}
\item \textcolor{yellow}{\bf $R^4\ =\ \{(1,5)\}$}
\item Fecho Transitivo $R^*\ =\ R\ \cup\ R^2\ \cup\ R^3\ \cup\ R^4$
\end{itemize}
\end{block}


\begin{figure}\centering\scalebox{0.8}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=black!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node[vert1] (a) at (0,0) {$1$};
\node[vert1] (b) at (2,0) {$2$};
\node[vert1] (c) at (4,0) {$3$};
\node[vert1] (d) at (6,0) {$4$};
\node[vert1] (e) at (8,0) {$5$};

\draw[->,blue,thick] (a) to [bend left=15] (b); \node at (1,0.3) {\cor{$R$}};
\draw[->,blue,thick] (b) to [bend left=15] (c); \node at (3,0.3) {\cor{$R$}};
\draw[->,blue,thick] (c) to [bend left=15] (d); \node at (5,0.3) {\cor{$R$}};
\draw[->,blue,thick] (d) to [bend left=15] (e); \node at (7,0.3) {\cor{$R$}};

\draw[->,red,thick] (a) to [bend left=30] (c); \node at (2,0.8) {\alert{$R^2$}};
\draw[->,red,thick] (b) to [bend left=30] (d); \node at (4,0.8) {\alert{$R^2$}};
\draw[->,red,thick] (c) to [bend left=30] (e); \node at (6,0.8) {\alert{$R^2$}};

\draw[->,green,thick] (a) to [bend left=45] (d); \node at (3,1.5) {\textcolor{green}{\bf $R^3$}};
\draw[->,green,thick] (b) to [bend left=45] (e); \node at (5,1.5) {\textcolor{green}{\bf $R^3$}};

\draw[->,yellow,thick] (a) to [bend left=60] (e); \node at (4,2.35) {\textcolor{yellow}{\bf $R^4$}};


\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Fecho Transitivo}

\begin{block}{Teorema 6.6: Relação $S$ transitiva: $R\subseteq S\ \Tto\ R^*\subseteq S$}
Dada uma relação $R$, toda relação transitiva $S$ que contém $R$ também contém o fecho transitivo $R^*$ de $R$.
\end{block}

\begin{block}{Prova:}
\begin{itemize}
\item Relações $R$ e $S$ tais que $R\subseteq S$ e $S$ é transitiva.
\item \alert{Teorema 6.2:} $R\subseteq S\ \Tto\ R^n\subseteq S^n,\ \forall n\geq 1$.
\item \alert{Teorema 6.4:} $S$ transitiva$\ \Tto\ S^n\subseteq S,\ \forall n\geq 1$.
\item Logo $R^n\ \subseteq\ S, \forall n\geq 1$.
\item $R^*\ =\ R^1\cup R^2\cup R^3\cup\ldots\ \subseteq S$. $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Fechos de uma Relação - Exercício 6.22}

\begin{block}{Exercício 6.22:}
Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo das seguintes relações:
\begin{itemize}
\item $A = \{a, b, c\}$ e $R_1 = \{(a, a), (a, b), (b, c), (c, b)\}$.
\item $A = \{0, 1, 2, 3\}$ e $R_2 = \{(0, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 0)\}$.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item Reflexivo\esp{7} $\ =\ R_1\ \cup\ \{(b,b),(c,c)\}$
\item Simétrico\esp{6} $\ =\ R_1\ \cup\ \{(b,a)\}$
\item Transitivo $R_1^*\ =\ R_1\ \cup\ \{(a,c),(b,b),(c,c)\}$
\item
\item
\item Reflexivo\esp{7} $\ =\ R_2\ \cup\ \{(0,0),(3,3)\}$
\item Simétrico\esp{6} $\ =\ R_2\ \cup\ \{(1,0),(2,1),(0,2),(0,3)\}$
\item Transitivo $R_2^*\ =\ R_2\ \cup\ \{(0,2),(0,0),(1,0),(2,1),(3,1),(3,2)\}$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Fechos de uma Relação - Exercício 6.23}


\begin{block}{Exercício 6.23:}
Sejam $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ e $R = \{(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 4)\}$. Encontre as potências $R^2$, $R^3$, $R^4$, $R^5$, $R^6$ e o fecho transitivo $R^*$.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
$R^2 = \{$(1,1),(1,5),\cor{(2,3)},(3,3),(3,1),(3,2),(3,4),\cor{(4,1),(4,5)},(5,3),(5,4)$\}$ \\
$R^3 = \{$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\alert{(2,1),(2,5)},(3,1),(3,3),(3,4),(3,5),\\
\esp{10}\alert{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},(5,1),(5,3),(5,5)$\}$\\
$R^4 = \{$(1,\underline{1-3-4-5}),\cor{(2,\underline{1-2-3-4})},(3,\underline{1-2-3-4-5}),\cor{(4,\underline{1-3-4-5})},(5,\underline{1-2-3-4-5})$\}$\\
$R^5 = \{$(1,\underline{1-2-3-4-5}),\alert{(2,\underline{1-3-4-5})},(3,\underline{1-2-3-4-5}),\alert{(4,\underline{1-2-3-4-5})},(5,\underline{1-2-3-4-5})$\}$\\
$R^6 = \{$(1,\underline{1-\ldots-5}),\ \cor{(2,\underline{1-\ldots-5})},\ (3,\underline{1-\ldots-5}),\ \cor{(4,\underline{1-\ldots-5})},\ (5,\underline{1-\ldots-5})$\}$\\
\begin{itemize}
\item \cor{$R^* =\ R^1\cup R^2\cup R^3\cup R^4\cup R^5\cup R^6\ =\ R^6\ =\ A\times A$}
\item \alert{$(1,3), (3,5), (5,2), (2,4), (4,3), (3,1) \in R$}
\item \textcolor{green}{Ciclo com todos os elementos de $A\ \Tto\ R^*\ =\ A\times A$}
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Fechos de uma Relação - Exercício 6.24}

\begin{block}{Exercício 6.24:}
Seja $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Encontre a menor relação contendo a relação $R =
\{(1, 2), (1, 4), (3, 3), (4, 1)\}$ que é:
\begin{itemize}
\item[(a)] Simétrica e reflexiva sobre $A$.
\item[(b)] Reflexiva sobre $A$ e transitiva.
\item[(c)] Simétrica e transitiva.
\item[(d)] Reflexiva sobre $A$, simétrica e transitiva.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item[(a)] $R\cup\{(0,0),(1,1),(2,2),(4,4),(5,5),(2,1)\}$
\item[(b)] $R\cup\{(0,0),(1,1),(2,2),(4,4),(5,5)\}$ 
\item[(c)] $R\cup\{(2,1),(1,1),(2,2),(4,4)\}$ 
\item[(d)] $R\cup\{(0,0),(1,1),(2,2),(4,4),(5,5),(2,1)\}$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Fechos de uma Relação - Exercício 6.25}

\begin{block}{Exercício 6.25:}
Sejam $R_1$ e $R_2$ relações sobre o conjunto $A$, tais que $R_1\subseteq R_2$.
\begin{itemize}
\item $S_1$ e $S_2$ fechos \alert{reflexivos} de $R_1$ e $R_2$. Prove que $S_1\subseteq S_2$.
\item $S_1$ e $S_2$ fechos \alert{simétricos} de $R_1$ e $R_2$. Prove que $S_1\subseteq S_2$.
\item $S_1$ e $S_2$ fechos \alert{transitivos} de $R_1$ e $R_2$. Prove que $S_1\subseteq S_2$.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item \alert{REF:} $R_1\subseteq R_2\ \Tto\ R_1\cup I_A\subseteq R_2\cup I_A\ \Tto\ S_1\subseteq S_2$.\ \ $\square$
\item \alert{SIM:} $R_1\subseteq R_2\ \Tto\ R_1^{-1}\subseteq R_2^{-1}\ \Tto\ R_1\cup R_1^{-1}\subseteq R_2\cup R_2^{-1}\ \Tto\ S'_1\subseteq S'_2$.\ \ $\square$
\item \alert{TR:} $R_1\subseteq R_2\ \Tto\ R_1^{n}\subseteq R_2^{n},\ \forall n\geq 1\ \Tto\ R_1^1\cup R_1^2\cup\ R_1^3\ldots\subseteq R_2^1\cup R_2^2\cup\ R_2^3\ldots\ \Tto\ R_1^*\subseteq R_2^*$.\ \ $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Fechos de uma Relação - Exercício 6.26}

\begin{block}{}
Sejam $R_1$ e $R_2$ relações sobre o conjunto $A$, e $R = R_1\cup R_2$.
\begin{itemize}
\item $S_1$, $S_2$ e $S$ fechos \alert{reflexivos} de $R_1$, $R_2$ e $R$. Prove $S_1\cup S_2 = S$.
\item $S_1$, $S_2$ e $S$ fechos \alert{simétricos} de $R_1$, $R_2$ e $R$. Prove $S_1\cup S_2 = S$.
\item $S_1$, $S_2$ e $S$ fechos \alert{transitivos} de $R_1$, $R_2$ e $R$. Prove $S_1\cup S_2\subseteq S$. Encontre um exemplo em que não é igual.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item \cor{REF:} $S=(R_1\cup R_2)\cup I_A=(R_1\cup I_A)\cup(R_2\cup I_A)=S_1\cup S_2.\ \ \ \square$
\item \cor{SIM:} $S=(R_1\cup R_2)\cup(R_1\cup R_2)^{-1}=(R_1\cup R_2)\cup(R_1^{-1}\cup R_2^{-1})=S_1\cup S_2.\ \ \ \square$
\item \cor{TR:} $R_1^n\cup R_2^n\subseteq (R_1\cup R_2)^n,\ \forall n\geq 1\ \Tto\ R_1^*\cup R_2^*\subseteq (R_1\cup R_2)^*$.
\item \alert{Exemplo:} $R_1=\{(1,2)\},\ R_2=\{(2,3)\}\ \Tto$
\item $\Tto\ R_1^*\cup R_2^*=\{(1,2),(2,3)\}\ne\{(1,2),(2,3),(1,3)\}=(R_1\cup R_2)^*$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Fechos de uma Relação - Exercício 6.27}

\begin{block}{}
Sejam $R_1$ e $R_2$ relações sobre o conjunto $A$, e $R = R_1\cap R_2$.
\begin{itemize}
\item $S_1$, $S_2$ e $S$ fechos \alert{reflexivos} de $R_1$, $R_2$ e $R$. Prove $S = S_1\cap S_2$.
\item $S_1$, $S_2$ e $S$ fechos \alert{simétricos} de $R_1$, $R_2$ e $R$. Prove $S\subseteq S_1\cap S_2$. Mostre um exemplo em que não é igual.
\item $S_1$, $S_2$ e $S$ fechos \alert{transitivos} de $R_1$, $R_2$ e $R$. Prove $S\subseteq S_1\cap S_2$. Mostre um exemplo em que não é igual.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item \cor{REF:} $S=(R_1\cap R_2)\cup I_A=(R_1\cup I_A)\cap(R_2\cup I_A)=S_1\cap S_2.\ \ \ \square$
\item \cor{SIM:} $S=(R_1\cap R_2)\cup(R_1\cap R_2)^{-1}=(R_1\cap R_2)\cup(R_1^{-1}\cap R_2^{-1})=S_1\cap S_2\cap(R_1\cup R_2^{-1})\cap(R_2\cup R_1^{-1}).\ \ \ \square$
\item $R_1=\{(1,2)\}$, $R_2=\{(2,1)\}\tto R=\emptyset, S_1=S_2=\{(1,2),(2,1)\}$
\item \cor{TR:} $(R_1\cap R_2)^n\subseteq R_1^n\cap R_2^n ,\ \forall n\geq 1\ \Tto\ (R_1\cap R_2)^*\subseteq R_1^*\cup R_2^*$.
\item \alert{Exemplo:} $R_1=\{(1,2),(2,4)\}, R_2=\{(1,3),(3,4)\}\ \Tto$
\item $\Tto\ (R_1\cap R_2)^*=\emptyset\ne\{(1,4)\}= R_1^*\cap R_2^*$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Fechos de uma Relação - Exercício 6.28}

\begin{block}{Exercício 6.28:}
Seja $R$ a relação sobre o conjunto dos números inteiros positivos tal que $aRb$ se
e somente se existe um número primo $p$ tal que $a = pb$. Qual é o fecho reflexivo de $R$? Qual é o fecho transitivo de $R$? Qual é o fecho transitivo e reflexivo?
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item \cor{REF:} $S\ =\ R\cup\ I_{\NN^*}$, onde $\NN^*=\NN-\{0\}$. Ou seja,
\item $aSb$ se e só se $a=pb$ para $p$ primo ou igual a $p=1$.
\item \cor{TR:} $aR^*b$ se e só se $a>b>0$ e $a$ é múltiplo de $b$.
\item \cor{TR+REF:} $aR^{**}b$ se e só se $a\geq b>0$ e $a$ é múltiplo de $b$
\item \alert{Exemplo:} $300R100,100R50,50R10,10R2\tto 100R^*2$
\item \alert{Mais formalmente:} $aR^n b\ \Iff\ \exists\ primos\ p_1,\ldots,p_n:\ a=p_1p_2\ldots p_n\ b$. Pelo Teorema Fudamental da Aritmética, todo número$>1$ pode ser decomposto em um produto de números primos e por $R^*=R^1\cup R^2\cup R^3\ldots$.
\end{itemize}
\end{block}
}


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\frame{\centering
\huge{\alert{Capítulo 7.1\\ORDENS PARCIAIS}}
}
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\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.1}

\begin{block}{Exercício 7.1:}
Seja $R$ a relação sobre o conjunto dos números inteiros positivos ($\ZZ^+=\NN^*$) tal que $aRb$ se e somente se existe um inteiro positivo $k$ tal que $a = k\cdot b$. Prove que $R$ é uma relação de ordem.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item \cor{REF:} $a\ =\ 1\cdot a,\ \forall a\in\ZZ^+$\ \ $\alert{\Iff}$\ \ $aRa$\ \ $\alert{\Iff}$\ \ $(a,a)\in R$.\ \ \ $\square$
\item \cor{AntiSIM:} $aRb\ \And\ a\ne b$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a=kb$ para $k\geq 2$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $b<a$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(b,a)\not\in R$.\ \ \ $\square$
\item \cor{TR:} $aRb\ \And\ bRc$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a=k_1\cdot b\ \And\ b=k_2\cdot c$ com $k_1,k_2\in\ZZ^+$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a=k_1k_2\cdot c$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $aRc$\ \ $\alert{\Iff}$\ \ $(a,c)\in R$\ \ \ $\square$.
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.2}

\begin{block}{Exercício 7.2:}
Seja $A$ o conjunto dos inteiros de $0$ a $9$ e seja $R$ a relação sobre $A$ tal que $aRb$ se e somente se $a$ é par e $b$ é ímpar, ou ambos são pares e $a\leq b$, ou ambos são ímpares e $a\geq b$. Esta é uma relação de ordem?
\end{block}

\begin{figure}\centering\scalebox{0.8}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=black!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node[vert1] (a) at (0,2) {$0$};
\node[vert1] (b) at (2,2) {$2$};
\node[vert1] (c) at (4,2) {$4$};
\node[vert1] (d) at (6,2) {$6$};
\node[vert1] (e) at (8,2) {$8$};

\draw[->,blue,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[->,blue,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[->,blue,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[->,blue,thick] (d) to [bend left=15] (e);

\draw[->,blue,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[->,blue,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[->,blue,thick] (c) to [bend left=30] (e);

\draw[->,blue,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[->,blue,thick] (b) to [bend left=45] (e);

\draw[->,blue,thick] (a) to [bend left=60] (e);

\node[vert1] (e2) at (0,0) {$1$};
\node[vert1] (d2) at (2,0) {$3$};
\node[vert1] (c2) at (4,0) {$5$};
\node[vert1] (b2) at (6,0) {$7$};
\node[vert1] (a2) at (8,0) {$9$};

\draw[->,red,thick] (a2) to [bend left=15] (b2);
\draw[->,red,thick] (b2) to [bend left=15] (c2);
\draw[->,red,thick] (c2) to [bend left=15] (d2);
\draw[->,red,thick] (d2) to [bend left=15] (e2);

\draw[->,red,thick] (a2) to [bend left=30] (c2);
\draw[->,red,thick] (b2) to [bend left=30] (d2);
\draw[->,red,thick] (c2) to [bend left=30] (e2);

\draw[->,red,thick] (a2) to [bend left=45] (d2);
\draw[->,red,thick] (b2) to [bend left=45] (e2);

\draw[->,red,thick] (a2) to [bend left=60] (e2);

\path[->,green,thick]
(a) edge (a2) edge (b2) edge (c2) edge (d2) edge (e2)
(b) edge (a2) edge (b2) edge (c2) edge (d2) edge (e2)
(c) edge (a2) edge (b2) edge (c2) edge (d2) edge (e2)
(d) edge (a2) edge (b2) edge (c2) edge (d2) edge (e2)
(e) edge (a2) edge (b2) edge (c2) edge (d2) edge (e2);

\draw[->,blue,thin] (a)  to [out= 120,in= 60,looseness=7] (a);
\draw[->,blue,thin] (b)  to [out= 120,in= 60,looseness=7] (b);
\draw[->,blue,thin] (c)  to [out= 120,in= 60,looseness=7] (c);
\draw[->,blue,thin] (d)  to [out= 120,in= 60,looseness=7] (d);
\draw[->,blue,thin] (e)  to [out= 120,in= 60,looseness=7] (e);
\draw[->,red ,thin] (a2) to [out=-120,in=-60,looseness=7] (a2);
\draw[->,red ,thin] (b2) to [out=-120,in=-60,looseness=7] (b2);
\draw[->,red ,thin] (c2) to [out=-120,in=-60,looseness=7] (c2);
\draw[->,red ,thin] (d2) to [out=-120,in=-60,looseness=7] (d2);
\draw[->,red ,thin] (e2) to [out=-120,in=-60,looseness=7] (e2);


\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.2}

\begin{block}{Exercício 7.2:}
Seja $A$ o conjunto dos inteiros de $0$ a $9$ e seja $R$ a relação sobre $A$ tal que $aRb$ se e somente se $a$ é par e $b$ é ímpar, ou ambos são pares e $a\leq b$, ou ambos são ímpares e $a\geq b$. Esta é uma relação de ordem?
\end{block}

\begin{block}{Solução:\ \alert{SIM}}
\begin{itemize}
\item \cor{REF:} $a\leq a\ \And\ a\geq a$\ \ $\alert{\Iff}$\ \ $aRa$,\ $\forall a\in\ZZ$.\ \ \ $\square$
\item \cor{AntiSIM:}
\item[i] $aRb, a$\ par e $b$\ ímpar\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(b,a)\not\in R$\ \ \ $\square$
\item[ii] $aRb, a,b$\ pares e $a<b$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $b\not\leq a$\ \ $\Tto$\ \ $(b,a)\not\in R$.\ \ \ $\square$
\item[iii] $aRb, a,b$\ ímpares e $a>b$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $b\not\geq a$\ \ $\Tto$\ \ $(b,a)\not\in R$.\ \ \ $\square$
\item \cor{TR:} $aRb\ \And\ bRc$:
\item $a,b,c$ pares e $a\leq b\leq c$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a,c$ pares e $a\leq c$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $aRc$
\item $a,b$ pares, $c$ ímpar e $a\leq b$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a$ par e $c$ ímpar\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $aRc$
\item $a$ par, $b,c$ ímpares e $b\leq c$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a$ par e $c$ ímpar\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $aRc$
\item $a,b,c$ ímpares e $a\geq b\geq c$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a,c$ ímpares e $a\geq c$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $aRc$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.3}

\begin{block}{Exercício 7.3:}
Considere a relação $R$ sobre os pares ordenados de inteiros $\ZZ\times\ZZ$ tal que
$(a,b) R (c,d)\Iff(a\leq c)\Or(b\leq d)$ para quaisquer inteiros $a$, $b$, $c$ e $d$. Esta é uma relação de ordem?
\end{block}

\begin{block}{Solução:\ \ \alert{NÃO}}
\begin{itemize}
\item \underline{Contraexemplo:}
\item $a=d=1$ e $b=c=2$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(1,2) R (2,1)$, pois $a\leq c$
\item $a=d=2$ e $b=c=1$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(2,1) R (1,2)$, pois $b\leq d$
\item Portanto $R$ não é antissimétrica. Logo $R$ não é uma relação de ordem.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.3b}

\begin{block}{Exercício 7.3b:}
Considere a relação $R$ sobre os pares ordenados de inteiros $\ZZ\times\ZZ$ tal que
$(a,b) R (c,d)\Iff(a\leq c)\cor{\And}(b\leq d)$ para quaisquer inteiros $a$, $b$, $c$ e $d$. Esta é uma relação de ordem?
\end{block}

\begin{block}{Solução:\ \ \alert{SIM}}
\begin{itemize}
\item \cor{REF:} $a\leq a\ \And\ b\leq b$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(a,b)R(a,b)$,\ $\forall a,b\in\ZZ$.\ \ \ $\square$
\item \cor{AntiSIM:} $(a,b)R(c,d)\ \And (c,d)R(a,b)$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a\leq c\ \And\ b\leq d\ \And c\leq a\ \And\ d\leq b$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a=c\ \And\ b=d$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(a,b)=(c,d)$.\ \ \ $\square$
\item \cor{TR:} $(a,b)R(c,d)\ \And\ (c,d)R(x,y)$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a\leq c\leq x\ \And\ b\leq d\leq y$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a\leq x\ \And\ b\leq y$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(a,b)R(x,y)$.\ \ \ $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.4}

\begin{block}{Exercício 7.4:}
Seja $R$ uma relação de ordem sobre um conjunto $B$ ($R\subseteq B\times B$). Prove que, para todo subconjunto $A$ de $B$ ($A\subseteq B$), a restrição $R'$ de $R$ a $A$ é uma relação de ordem sobre $A$.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item \textbf{Lembrete:} $xR'y\ \ \Iff\ \ xRy\ \And\ x,y\in A$
\item \cor{REF:} $a\in A$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a\in B$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(a,a)\in R$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(a,a)\in R'$.\ \ \ $\square$
\item \cor{AntiSIM:} $xR'y$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $xRy$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(y,x)\not\in R$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(y,x)\not\in R'$.\ \ \ $\square$
\item \cor{TR:} $xR'y\ \And\ yR'z$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $x,y,z\in A\ \And\ xRy\ \And\ yRz$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $x,z\in A\ \And\ xRz$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $xR'z$.\ \ \ $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.5}

\begin{block}{Exercício 7.5:}
Para quaisquer relações de ordem $R$ e $S$ sobre um conjunto $A$, a relação $R\cup S$ é
sempre uma relação de ordem sobre $A$? E a relação $R\cap S$? Prove suas respostas.
\end{block}

\begin{block}{Solução: \alert{NÃO para $R\cup S$}}
\begin{itemize}
\item \underline{Contraexemplo:} $A=\{1,2,3\}$, $R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)\}$ e $S=\{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3)\}$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $R$ e $S$ são ordens parciais.
\item No entanto, $\{(1,2),(2,3)\}\subseteq R\cup S$, mas $(1,3)\not\in R\cup S$.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução: \alert{SIM para $R\cap S$}}
\begin{itemize}
\item \cor{REF:} $(a,a)\in R\ \And\ (a,a)\in S,\ \forall a\in A$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(a,a)\in R\cap S$.\ \ \ $\square$
\item \cor{AntiSIM:} $(x,y)\in R\cap S\ \And x\ne y$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(y,x)\not\in R\ \And\ (y,x)\not\in S$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(y,x)\not\in R\cap S$.\ \ \ $\square$
\item \cor{TR:} $(x,y)\in R\cap S\ \And\ (y,z)\in R\cap S$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(x,z)\in R\ \And\ (x,z)\in S$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(x,z)\in R\cap S$.\ \ \ $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.6}

\begin{block}{Exercício 7.6:}
Seja $A$ o conjunto de todos os arquivos em um sistema de arquivos e seja $R$ a relação
sobre $A$ tal que $aRb$ se e somente se o arquivo $a$ contém uma cópia do conteúdo do arquivo $b$, possivelmente com informações adicionais antes do início de $b$ ou depois do fim de $b$. A relação $R$ é uma relação de ordem?
\end{block}

\begin{block}{Solução: \alert{SIM}}
\begin{itemize}
\item \cor{REF:} Arquivo $a$ contém $a$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(a,a)\in R$.\ \ \ $\square$
\item \cor{AntiSIM:} $(a,b)\in R\ \And a\ne b$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ arquivo $a$ tem cópia do arquivo $b$ e possui dados extras antes ou depois de sua cópia interna de $b$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $b$ não tem cópia de $a$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(b,a)\not\in R$.\ \ \ $\square$
\item \cor{TR:} $(a,b)\in R\ \And\ (b,c)\in R$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a$ tem cópia de $b$ e $b$ tem cópia de $c$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $a$ tem cópia de $c$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(a,c)\in R$.\ \ \ $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.7}

\begin{block}{Exercício 7.7:}
Seja $A$ um conjunto de caixas e seja $R$ a relação sobre $A$ tal que $aRb$ se e somente se a caixa $a$ cabe dentro da caixa $b$. Prove que $R$ é uma relação de ordem estrita.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item \cor{IRREF:} Caixa $a$ não cabe em $a$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(a,a)\not\in R$.\ \ \ $\square$
\item \cor{AntiSIM:} $(a,b)\in R$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ caixa $a$ cabe em $b$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ caixa $b$ não cabe em $a$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(b,a)\not\in R$.\ \ \ $\square$
\item \cor{TR:} $(a,b)\in R\ \And\ (b,c)\in R$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ caixa $a$ cabe em $b$ e caixa $b$ cabe em $c$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ caixa $a$ cabe na caixa $c$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $(a,c)\in R$.\ \ \ $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.8}

\begin{block}{Exercício 7.8:}
A ordem estrita sobre um conjunto de caixas definida no exercício 7.7 é uma ordem
total?
\end{block}

\begin{block}{Solução: \alert{NÃO}}
\begin{itemize}
\item Podem existir duas caixas $a$ e $b$ tais que $a$ não cabe em $b$ e também $b$ não cabe em $a$.
\item Por exemplo, caixas com medidas $1\times 1\times 5$ e $2\times 2\times 2$. 
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.9}

\begin{block}{Exercício 7.9:}
Seja $R$ uma relação de ordem \cor{total} sobre um conjunto $B$ ($R\subseteq B\times B$). Prove que, para todo subconjunto $A$ de $B$ ($A\subseteq B$), a restrição $R'$ de $R$ a $A$ também é uma relação de ordem \cor{total} sobre $A$. (Veja o exercício 7.4.)
\end{block}

\begin{block}{Exercício 7.4:}
Seja $R$ uma relação de ordem \alert{\sout{total}} sobre um conjunto $B$ ($R\subseteq B\times B$). Prove que, para todo subconjunto $A$ de $B$ ($A\subseteq B$), a restrição $R'$ de $R$ a $A$ também é uma relação de ordem \alert{\sout{total}} sobre $A$.
\end{block}

\begin{block}{Solução Ex. 7.9:}
\begin{itemize}
\item \textbf{Lembrete:} $xR'y\ \ \Iff\ \ xRy\ \And\ x,y\in A$
\item No Exercício 7.4, provamos que $R'$ é uma relação de ordem. Falta provar que é \textbf{total}.
\item $x,y\in A$ \ \ $\alert{\Tto}$\ \ $x,y\in B$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $xRy\ \Or\ yRx$\ \ $\alert{\Tto}$\ \ $xR'y\ \Or\ yR'x$.\ \ \ \ $\square$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.10}

\begin{block}{Exercício 7.10:}
Seja $R$ uma relação sobre um conjunto $A$ e seja $S$ a relação complementar, $S=(A\times A)-R$. Prove ou mostre um contraexemplo:
\begin{itemize}
\item[(i)] $R$ é de ordem \esp{7}\ \  \textbf{se e só se}\ \  $S$ é de ordem estrita.\esp{8} (\alert{F})
\item[(ii)] $R$ é de ordem \cor{total}\ \ \textbf{se e só se}\ \  $S$ é de ordem estrita \cor{total}. (\textcolor{green}{\bf V})
\end{itemize}
\end{block}
--------------------------------------------------
%\begin{block}{Solução: \alert{Falso para (i)}}
\begin{itemize}
\item \textbf{Contraexemplo (i):} $A=\{1,2\}$, $1R1$, $2R2$, $1S2$ e $2S1$.
\item $R$ é ordem, mas $S$ não é antissimétrica (não é ordem estrita)
\end{itemize}
%\end{block}
--------------------------------------------------
%\begin{block}{Solução: \cor{Verdadeiro para (ii)}}
\begin{itemize}
\item \textbf{Prova (ii):} $R$ é reflexiva se e somente se $S$ é irreflexiva. \cor{Ok}.
\item Suponha que $R$ é uma ordem total e $x,y,z\in A$ são distintos.
\item $x,y\in A\ \Tto\ xRy\ \Or\ yRx$ (pois $R$ é \textbf{total})
\item $\Tto\ (xRy\And y\cnot{R} x)\ \Or\ (yRx\And x\cnot{R} y)$ (pois $R$ é \textbf{antissimétrica})
\item $\Tto\ (x\cnot{S} y\And ySx)\ \Or\ (y\cnot{S} x\And xSy)$ $\Tto$ $S$ é \cor{total e antissimétrica} 
\item $xSy \And ySz \Tto zRy \And yRx \Tto zRx \Tto xSz \Tto S$ \cor{transitiva}.
\item Argumento análogo para: $S$ é de ordem estrita\ \ $\Tto$\ \ $R$ é de ordem.
\end{itemize}
%\end{block}
}









%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Conjunto $A^k$ de $k$-uplas sobre um alfabeto $A$}

\begin{block}{Definição $k$-upla}
\begin{itemize}
\item \textbf{$k$-upla}\ \ =\ \ generalização de Par Ordenado para $k$ ordenadas.
\item pares (duplas $k$=2), triplas ($k$=3), quádruplas ($k$=4), quíntuplas ($k$=5), $\ldots$
\item \cor{Ex1:} Triplas pitagóricas (3,4,5),\ (5,12,13),\ (6,8,10).
\item \cor{Ex2:} Pontos $(x,y,z)$ da esfera de raio 1:\ $x^2+y^2+z^2\leq 1$.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Definição $A^k\ =\ A\times A\times\ldots\times A$ ($k$ vezes)}
Dado conjunto $A$ , definimos $A^k$ o conjunto das $k$-uplas (ordenadas) com elementos de $A$.
\begin{itemize}
\item \cor{Ex1:} $\RR^3$: pontos do espaço tridimensional.
\item \cor{Ex2:} $\{C,K\}^5\ =\ $ conjunto dos possíveis resultados ao lançar uma moeda 5 vezes, para C (cara) e K (coroa)\ =\ \Big\{(C,C,C,C,C),\ (C,C,C,C,K),\ (C,C,C,K,C),\ (C,C,C,K,K),\ (C,C,K,C,C),\ldots\Big\}.
\end{itemize}
\end{block}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Conjunto $A^*$ de palavras sobre um conjunto $A$}

\begin{block}{Definição $A^*$ ($A$ estrela)}
Dado conjunto $A$ (alfabeto), definimos $A^*$ ($A$ estrela) como o  conjunto das sequências (palavras) finitas de elementos de $A$ (a ordem importa).
\begin{itemize}
\item \cor{Ex1:} $A=\{a\}$,\ \ \ \ $A^*=\{\varepsilon,a,aa,aaa,aaaa,\ldots\}$.
\item \cor{Ex2:} $A=\{a,b\}$, $A^*=\{\varepsilon,a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,aab,\ldots\}$.
\end{itemize}
Chamaremos os elementos de $A$ de letras e os elementos de $A^*$ de palavras.
O tamanho de uma palavra $u$ é o seu número de letras. A palavra vazia, denotada por $\varepsilon$ ou $()$, tem tamanho 0.
\end{block}

\begin{block}{Concatenação:}
Dadas duas palavras $u$ e $v$, a \cor{concatenação} de $u$ e $v$, escrita $uv$ é a palavra obtida ao se escrever as letras de $u$ seguidas das letras de $v$.
\begin{itemize}
\item \cor{Exemplo:} Alfabeto $A=\{a,b\}$,\ $u=ab$\ e\ $v=ba$.
\item $uv\ =\ abba$,\ \ $vu\ =\ baab$,\ \ $uuvv=ababbaba$
\item $baa$ é \textbf{prefixo} de $vu$;\ \ $aba$ é \textbf{sufixo} de $uuvv$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordem Lexicográfica $R^*$ de uma relação $R$}

É uma Relação de Ordem ($R^*$) sobre o conjunto $A^*$ de palavras sobre um alfabeto $A$ (dada uma relação de ordem $R$ sobre os elementos de $A$). \textit{Não confundir com fecho transitivo} $R^*$. \textbf{Exemplo:} dicionário.\\

\begin{block}{Ordem lexicográfica $\textcolor{green}{\bf R^*}$ de uma relação $R$}
Dada uma relação de ordem $\cor{R}$ sobre um conjunto $A$, seja $\textcolor{green}{\bf R^*}$ (\textcolor{green}{\bf ordem lexicográfica induzida} por $\cor{R}$) a relação  sobre $A^*$ tal que $u\textcolor{green}{\bf R^*}v$ se e só se:
\begin{itemize}
\item[(i)] $u$ é prefixo de $v$;\ \ ou
\item[(ii)] $u=wau'$\ e\ $v=wbv'$, onde $w$ é o maior prefixo comum entre $u$ e $v$, os sufixos $u',v'\in A^*$ e as letras $a,b\in A$ satisfazem $aRb$.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Exemplo: Dicionário}
\begin{itemize}
\item $A=\{a,b,c,\ldots\}$ e \cor{$R$} a relação natural das letras: $a \cor{R} b \cor{R} c \cor{R} d \cor{R}\ldots$
\item $\varepsilon$\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ a\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ aa\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ amar\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ amo\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ amor\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ amora\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ b\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ ba.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordem Lexicográfica $R^*$ de uma relação $R$}

É uma Relação de Ordem ($R^*$) sobre o conjunto $A^*$ de palavras sobre um alfabeto $A$ (dada uma relação de ordem $R$ sobre os elementos de $A$). \textit{Não confundir com fecho transitivo} $R^*$. \textbf{Exemplo:} dicionário.\\

\begin{block}{Ordem lexicográfica $\textcolor{green}{\bf R^*}$ de uma relação $R$}
Dada uma relação de ordem $\cor{R}$ sobre um conjunto $A$, seja $\textcolor{green}{\bf R^*}$ (\textcolor{green}{\bf ordem lexicográfica induzida} por $\cor{R}$) a relação  sobre $A^*$ tal que:
\begin{itemize}
\item[(L1)] Para toda palavra $u\in A^*$: $\varepsilon\textcolor{green}{\bf R^*}u$.
\item[(L2)] Para toda palavra $u\in A^*$: $u\ne\varepsilon\ \Tto\ u\cnot{\textcolor{green}{\bf R^*}} \varepsilon$.
\item[(L3)] $u$ e $v$ palavras não vazias: $u \textcolor{green}{\bf R^*} v$ \cor{se e só se} $(u_1\ne v_1 \And u_1 \cor{R} v_1)\Or$ $\Or(u_1=v_1\And u' \textcolor{green}{\bf R^*} v')$, onde $u_1$ e $v_1$ são as letras iniciais de $u$ e $v$, e $u'$ e $v'$ são o que resta de $u$ e $v$ retirando-se estes elementos iniciais.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Exemplo: Dicionário}
\begin{itemize}
\item $A=\{a,b,c,\ldots\}$ e \cor{$R$} a relação natural das letras: $a \cor{R} b \cor{R} c \cor{R} d \cor{R}\ldots$
\item $\varepsilon$\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ a\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ aa\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ amar\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ amo\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ amor\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ amora\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ b\ $\textcolor{green}{\bf R^*}$\ ba.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.11}

\begin{block}{Exercício 7.11:}
Seja $R$ uma relação de ordem parcial sobre um conjunto $A$. Prove que a ordem lexicográfica $R^*$ induzida por $R$ é reflexiva.
\end{block}

\begin{block}{Prova:}
\begin{itemize}
\item Seja $u\in A^*$ uma palavra qualquer. Queremos provar que $uR^*u$ por indução no tamanho $n$ de $u$.
\item \textbf{Caso base:} $n=0$\ $\Tto$\ $u=\varepsilon$\ $\Tto$\ $uR^*u$. (\textbf{Ok})
\item \textbf{H.I.:} Fixe $n\geq 1$ e suponha valer para toda palavra de tam $<n$.
\item \textbf{P.I.:} \cor{Vamos provar que vale para $n$. Ou seja, se $u$ de tamanho $n$, então $uR^*u$.}
\item Seja $u_1$ a letra inicial de $u$ e seja $u'$ a palavra que resta de $u$ retirando-se este elemento inicial.
\item Por indução, temos que $u'R^*u'$, pois $u'$ tem tamanho $n-1<n$.
\item Portanto, pela definição recursiva, $uR^*u$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.12}

\begin{block}{Exercício 7.12:}
Seja $R$ uma relação de ordem parcial sobre um conjunto $A$. Prove que a ordem lexicográfica $R^*$ induzida por $R$ é antissimétrica.
\end{block}

\begin{block}{Prova: por Indução}
\begin{itemize}
\item Provar por indução no tam $n$ de $u$ que $uR^*v \tto v\cnot{R^*}u$, $\forall\ v\neq u$.
\item \textbf{Caso base:} $n=0\ \Tto\ u=\varepsilon$. Por definição $v \cnot{R^*}\varepsilon$. (\textbf{Ok})
\item \textbf{H.I.:} Fixe $n\geq 1$ e suponha valer para toda palavra $u$ de tam $<n$.
\item \textbf{P.I.:} \cor{Vamos provar que vale para $n$. Ou seja, se $u$ tem tamanho $n$, $v\neq u$ e $uR^*v$, então $v\cnot{R^*}u$.}
\item Sejam $u_1$ e $v_1$ as letras iniciais de $u$ e $v$ e sejam $u'$ e $v'$ as palavras que restam de $u$ e $v$ retirando-se estas letras iniciais.
\item Por definição $(u_1\ne v_1 \And u_1Rv_1)\ \Or\ (u_1=v_1\And u'R^*v')$.
\item Se $u_1\ne v_1$, então $u_1Rv_1 \tto v_1\cnot{R}u_1 \tto v\cnot{R^*}u$, pois $R$ é antissimétrica.
\item Se $u_1=v_1$, então $u'R^*v'\ \Tto\ v'\cnot{R^*}u'\ \Tto\ v\cnot{R^*}u$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.13}

\begin{block}{Exercício 7.13:}
Seja $R$ uma relação de ordem parcial sobre um conjunto $A$. Prove que a ordem lexicográfica $R^*$ induzida por $R$ é transitiva.
\end{block}

\begin{block}{Prova: por Indução}
\begin{itemize}
\item Provar por indução no tam $n$ de $u$ que $uR^*v\And vR^*w \tto\ uR^*w$.
\item \textbf{Caso base:} $n=0\ \Tto\ u=\varepsilon$. Por definição $uR^*w$. (\textbf{Ok}).
\item \textbf{H.I.:} Fixe $n\geq 1$ e suponha valer para toda palavra $u$ de tam $<n$.
\item \textbf{P.I.:} \cor{Vamos provar que vale para $n$. Ou seja, se $u$ tem tamanho $n$, $uR^*v$ e $vR^*w$, então $u R^*w$.}
\item Sejam $u_1$, $v_1$ e $w_1$ as letras iniciais de $u$, $v$ e $w$ e sejam $u'$, $v'$ e $w'$ as palavras que restam de $u$, $v$ e $w$ retirando-se estas letras iniciais.
\item Se $u_1\ne w_1$, então $u_1Rw_1$ e portanto $uR^*w$ (\textbf{OK})
\item Suponha então $u_1=w_1$. Portanto $v_1=u_1$.
\item Logo $u'R^*v'$\ e\ $v'R^*w'$. Por H.I: $u'R^*w'$ (pois $u'$ tem tam. $n$-1)
\item Pela definição recursiva de $R^*$, temos: $uR^*w$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.14}

\begin{block}{Exercício 7.14:}
Seja $R$ uma relação de ordem parcial sobre um conjunto $A$. Prove que a ordem lexicográfica $R^*$ induzida por $R$ é total \textbf{se e só se} $R$ é total.
\end{block}

\begin{block}{Prova \textbf{(ida)}}
\begin{itemize}
\item Contrapositiva:\ \ $(P\to Q)\ \ \Iff\ \ (\neg Q\to\neg P)$
\item Suponha que $R$ não é total.
\item Então existem letras $a,b\in A$ tais que $a\cnot{R}b$\ e\ $b\cnot{R}a$.
\item Portanto as palavras $a,b\in A^*$ de uma letra apenas
\item também satisfazem $a\cnot{R^*}b$\ e\ $b\cnot{R^*}a$.
\item Logo $R^*$ não é total. 
\end{itemize}
\end{block}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Ordens Parciais - Exercício 7.14}

\begin{block}{Exercício 7.14:}
Seja $R$ uma relação de ordem parcial sobre um conjunto $A$. Prove que a ordem lexicográfica $R^*$ induzida por $R$ é total \textbf{se e só se} $R$ é total.
\end{block}

\begin{block}{Prova \textbf{(volta)}: por Indução}
\begin{itemize}
\item Palavras distintas $u,v\in A^*$ com tam. $u$\ $\leq$\ tam. $v$.
\item Provar por indução no tam $n$ de $u$ que $uR^*v\ \Or\ vR^*u$.
\item \textbf{Caso base:} $n=0\ \Tto\ u=\varepsilon$. Logo $uR^*v$, por definição. (\textbf{Ok})
\item \textbf{H.I.:} Fixe $n\geq 1$ e suponha valer para toda palavra $u$ de tam $<n$.
\item \textbf{P.I.:} \cor{Vamos provar que vale para $n$. Ou seja, se $u$ tem tamanho $n$, então $uR^*v$\ ou\ $vR^*u$ para todo $v\in A^*$.}
\item Sejam $u_1$ e $v_1$ as letras iniciais de $u$ e $v$ e sejam $u'$ e $v'$ as palavras que restam de $u$ e $v$ retirando-se estas letras iniciais.
\item $u_1\ne v_1\ \Tto\ u_1Rv_1 \Or v_1Ru_1$ (pois $R$ total)\ $\ \Tto\ uR^*v \Or vR^*u$.
\item Portanto suponha $u_1=v_1$. Logo pela H.I.: $u'R^*v'\ \Or\ v'R^*u'$.
\item Logo, por definição, $uR^*v\ \Or\ vR^*u$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Diagrama de Hasse - Exercício 7.15}

\begin{block}{Exercício 7.15:}
Seja $A$ o conjunto dos inteiros entre 1 e 20, inclusive. Seja $R$ a relação sobre $A$ tal
que $xRy$ se e somente se $x$ divide $y$. Construa o diagrama de Hasse de $R$.
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{hasse-divisores.png}
%\caption{}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Diagrama de Hasse - Exercício 7.15}

\begin{block}{Exercício 7.15:}
Seja $A$ o conjunto dos inteiros entre 1 e 20, inclusive. Seja $R$ a relação sobre $A$ tal
que $xRy$ se e somente se $x$ divide $y$. Construa o diagrama de Hasse de $R$.
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.5]{hasse-divisores2.png}
%\caption{Spider operations: thin and thick spiders}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Diagrama de Hasse - Exercício 7.16}

\begin{block}{Exercício 7.16:}
Uma subpalavra de uma palavra $x$ é uma sequência de letras que aparecem em posições consecutivas em $x$, na mesma ordem. Por exemplo, `\textit{nan}' é uma subpalavra de `\textit{banana}', mas `\textit{bn}' e `\textit{nab}' não são. Seja $A$ o conjunto de todas as subpalavras de `\textit{banana}' e seja `$\sqsubset$' a relação sobre $A$ tal que $x\sqsubset y$ se e somente se $x$ é subpalavra de $y$.
\begin{itemize}
\item[(a)] Prove que `$\sqsubset$' é uma relação de ordem.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item `$\sqsubset$' é \textbf{reflexiva}, pois toda palavra é subpalavra de si mesma.
\item `$\sqsubset$' é \textbf{antissimétrica}, pois, se $x\sqsubset y$ ($x$ é subpalavra de $y$) e $x\ne y$, então $y$ é maior que $x$ e portanto $y$ não pode ser subpalavra de $x$ ($y\cnot{\sqsubset}x$).
\item `$\sqsubset$' é \textbf{transitiva}, pois, se $x\sqsubset y$ e $y\sqsubset z$, então $x$ é subpalavra de $y$ e $y$ é subpalavra de $z$, e portanto $x$ é subpalavra de $z$ ($x\sqsubset z$).
\end{itemize}
\end{block}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Diagrama de Hasse - Exercício 7.16}

\begin{itemize}
\item[(b)] Construa o diagrama de Hasse de `$\sqsubset$'.
\end{itemize}

\begin{figure}\centering\scalebox{1.2}{
\begin{tikzpicture}[auto]
%\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=black!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\tikzstyle{vert1}=[]
\node[vert1] (a) at (0,0) {$b$};
\node[vert1] (b) at (2,0) {$a$};
\node[vert1] (c) at (4,0) {$n$};
\node[vert1] (x) at (0,1) {$ba$};
\node[vert1] (y) at (2,1) {$an$};
\node[vert1] (z) at (4,1) {$na$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (x) (b) edge (x) edge (y) edge (z) (c) edge (y) edge (z);

\node[vert1] (a) at (0,2) {$ban$};
\node[vert1] (b) at (2,2) {$ana$};
\node[vert1] (c) at (4,2) {$nan$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (x) edge (y) (b) edge (y) edge (z) (c) edge (y) edge (z);

\node[vert1] (x) at (0,3) {$bana$};
\node[vert1] (y) at (2,3) {$anan$};
\node[vert1] (z) at (4,3) {$nana$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (x) (b) edge (x) edge (y) edge (z) (c) edge (y) edge (z);

\node[vert1] (a) at (1,4) {$banan$};
\node[vert1] (b) at (3,4) {$anana$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (x) edge (y) (b) edge (y) edge (z);

\node[vert1] (x) at (2,5) {$banana$};
\path[-,blue,thick]
(x) edge (a) edge (b);
\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Diagrama de Hasse - Exercício 7.16'}

\begin{itemize}
\item[(b')] Construa o diagrama de Hasse de `$\sqsubset$' sobre as subpalavras de ``comida''.
\end{itemize}

\begin{figure}\centering\scalebox{1}{
\begin{tikzpicture}[auto]
%\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=black!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\tikzstyle{vert1}=[]
\node[vert1] (a) at (2.5,0) {$c$};
\node[vert1] (b) at (3.5,0) {$o$};
\node[vert1] (c) at (4.5,0) {$m$};
\node[vert1] (d) at (5.5,0) {$i$};
\node[vert1] (e) at (6.5,0) {$d$};
\node[vert1] (f) at (7.5,0) {$a$};

\node[vert1] (x) at (3,1) {$co$};
\node[vert1] (y) at (4,1) {$om$};
\node[vert1] (z) at (5,1) {$mi$};
\node[vert1] (u) at (6,1) {$id$};
\node[vert1] (v) at (7,1) {$da$};
\path[-,blue,thick]
(x) edge (a) edge (b) (y) edge (b) edge (c) (z) edge (c) edge (d)
(u) edge (d) edge (e) (v) edge (e) edge (f);

\node[vert1] (a) at (3.5,2) {$com$};
\node[vert1] (b) at (4.5,2) {$omi$};
\node[vert1] (c) at (5.5,2) {$mid$};
\node[vert1] (d) at (6.5,2) {$ida$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (x) edge (y) (b) edge (y) edge (z) (c) edge (z) edge (u)
(d) edge (u) edge (v);

\node[vert1] (x) at (4,3) {$comi$};
\node[vert1] (y) at (5,3) {$omid$};
\node[vert1] (z) at (6,3) {$mida$};
\path[-,blue,thick]
(x) edge (a) edge (b) (y) edge (b) edge (c) (z) edge (c) edge (d);

\node[vert1] (a) at (4.5,4) {$comid$};
\node[vert1] (b) at (5.5,4) {$omida$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (x) edge (y) (b) edge (y) edge (z);

\node[vert1] (x) at (5,5) {$comida$};
\path[-,blue,thick]
(x) edge (a) edge (b);
\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Diagrama de Hasse - Exercício 7.17}

\begin{block}{Exercício 7.17:}
Descreva o diagrama de Hasse de uma ordem total sobre um conjunto finito $A$.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
$A\ =\ \{1,2,3,4,5\}$. Relação `$\leq$' sobre $A$\\

\textbf{Conclusão:} O diagrama de Hasse de uma Ordem Total é uma linha reta.
\end{block}

\begin{figure}\centering\scalebox{1}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=black!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node[vert1] (a) at (4,0) {$1$};
\node[vert1] (b) at (4,1) {$2$};
\node[vert1] (c) at (4,2) {$3$};
\node[vert1] (d) at (4,3) {$4$};
\node[vert1] (e) at (4,4) {$5$};
\path[-,red,thick]
(a) edge (b) (b) edge (c) (c) edge (d) (d) edge (e);


\node[vert1] (a) at (0,0) {$1$};
\node[vert1] (b) at (0,1) {$2$};
\node[vert1] (c) at (0,2) {$3$};
\node[vert1] (d) at (0,3) {$4$};
\node[vert1] (e) at (0,4) {$5$};
\draw[->,blue,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[->,blue,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[->,blue,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[->,blue,thick] (d) to [bend left=15] (e);

\draw[->,blue,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[->,blue,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[->,blue,thick] (c) to [bend left=30] (e);

\draw[->,blue,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[->,blue,thick] (b) to [bend left=45] (e);

\draw[->,blue,thick] (a) to [bend left=60] (e);

\draw[->,blue,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=7] (a);
\draw[->,blue,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=7] (b);
\draw[->,blue,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=7] (c);
\draw[->,blue,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=7] (d);
\draw[->,blue,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=7] (e);

\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Mínimos e Máximos - Exercício 7.20}

\begin{block}{Exercício 7.20:}
Prove que todo conjunto ordenado tem no máximo um elemento mínimo e um
elemento máximo.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item Provar por contradição que não pode haver 2 mínimos.
\item Seja $R$ uma relação de ordem sobre um conjunto $A$ qualquer.
\item Suponha que existam dois mínimos $a$ e $b$ distintos em $A$.
\item Pela definição de mínimo: $\forall x\in A:\ aRx$\ e\ $bRx$.
\item Portanto $aRb$ e $bRa$. Contradição, pois $R$ é antissimétrica.
\item Argumento análogo para o máximo.
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Mínimos e Máximos - Exercício 7.21}

\begin{block}{Exercício 7.21:}
Prove que um conjunto finito $B$ não vazio \textbf{totalmente} ordenado tem exatamente um
elemento mínimo e um elemento máximo.
\end{block}

\begin{block}{Solução: por indução}
\begin{itemize}
\item Seja $R$ uma relação de ordem \textbf{total} sobre o conjunto $B$.
\item Vamos provar por indução no tamanho $n$ de $B$.
\item \textbf{Caso base:} $n=1\ \Tto\ $o único elemento de $B$ é mínimo. (\textbf{Ok})
\item \textbf{H.I:} Fixe $n>1$ e assuma valer para todo conjunto de tamanho $<\ n$.
\item \textbf{P.I:} \cor{Vamos provar que vale para $n$. Ou seja, se $B$ tem tamanho $n$, então $B$ tem elemento mínimo sob a relação $R$.}
\item Seja $b\in B$. Por H.I., $B-\{b\}$ tem elemento mínimo $m$ sob $R$.
\item $R$ é total\ $\Tto$\ $mRb$ ou $bRm$. Se $mRb$, então $m$ é mínimo de $B$.
\item Suponha então $bRm$. Como $\forall\ x\in B-\{b\}:\ mRx$,
\item então $\forall\ x\in B-\{b\}:\ bRx$ por transitividade.
\item Como $bRb$ (pois $R$ é reflexiva em $B$), então $b$ é mínimo em $B$ sob $R$.
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Notação $a \leq_R b$ para uma relação de ordem $R$}

\begin{block}{Notação $\leq_R$}
Dada uma \textbf{relação de ordem parcial} $R$, existem três modos de representar pares de $R$:
\begin{itemize}
\item $(a,b)\ \in\ R$; ou
\item $aRb$; ou
\item $a\leq_R b$.
\end{itemize}
Muitas vezes, dizemos que $\leq_R$ é a própria relação de ordem.
\end{block}

\begin{block}{Exemplo:}
\begin{itemize}
\item Reflexiva em $A$:\ $x\leq_R x$,\ $\forall x\in A$.
\item Antissimétrica:\ Se $x\leq_R y$\ e\ $x\ne y$, então $y\cnot{\leq}_Rx$. 
\item Antissimétrica:\ Se $x\leq_R y$\ e\ $y\leq_R x$, então $x=y$ .
\item Transitiva:\ Se $x\leq_R y$ e $y\leq_R z$, então $x\leq_R z$. 
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Notações $\leq_R$, $\geq_R$, $<_R$ e $>_R$ }

\begin{itemize}
\item $\leq_R$ é a própria relação de ordem $R$ 
\item $\geq_R$ é a relação de ordem inversa $R^{-1}$ de $R$
\item $<_R$ é a relação de ordem estrita associada a $R$
\item $>_R$ é a relação de ordem estrita associada a $R^{-1}$
\end{itemize}

\begin{block}{Definições:}
\begin{itemize}
\item $x\geq_R y$ \textbf{se e somente se} $y\leq_R x$.
\item $x<_R y$ \textbf{se e somente se} $x\leq_R y$ e $x\ne y$.
\item $x>_R y$ \textbf{se e somente se} $x\geq_R y$ e $x\ne y$.
\item $R$ é total \textbf{se e somente se} $x\leq_R y$ ou $x\geq_R y$, $\forall x,y$.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Exemplo: $R$ relação de continência $\subseteq$}
\begin{itemize}
\item $\leq_R$ é a própria relação de ordem $\subseteq$.
\item $\geq_R$ é a relação de ordem $\supseteq$.
\item $<_R$ é a relação de ordem estrita $\subsetneq$.
\item $>_R$ é a relação de ordem estrita $\supsetneq$.
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
%\frametitle{Diagrama de Hasse - Exercício 7.23}

\begin{block}{Exercício 7.23:}
Encontre um conjunto $A$ e uma relação de ordem $R$ sobre $A$ tal que existe um
único elemento minimal em $A$ sob $R$, mas que n˜ao é mínimo.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
Conjunto $A=\ZZ\cup\{\alpha\}$. Relação $R$ sobre $A$ tal que $x\leq_R y$ \textbf{se e somente se} $x$ e $y$ estão em $\ZZ$, ou $x=\alpha$ e $y\in\ZZ$ e $y\geq 0$, ou $x=y=\alpha$.
\end{block}

\begin{figure}\centering\scalebox{1}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=blue!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\tikzstyle{vert2}=[draw,circle,fill=red!25,minimum size=18pt,inner sep=1pt]
\node[vert1] (a) at (0,0) {$-2$};
\node[vert1] (b) at (0,1) {$-1$};
\node[vert1] (c) at (0,2) {$0$};
\node[vert1] (d) at (0,2.8) {$1$};
\node[vert1] (e) at (0,3.6) {$2$};
\node[vert2] (f) at (1,1) {$\alpha$};
\node (g1) at (0,-0.7) {$\bullet$};
\node (g2) at (0,-0.9) {$\bullet$};
\node (g3) at (0,-1.1) {$\bullet$};
\node (h1) at (0,4.3) {$\bullet$};
\node (h2) at (0,4.5) {$\bullet$};
\node (h3) at (0,4.7) {$\bullet$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (b) (b) edge (c) (c) edge (d) (d) edge (e) (e) edge (h1) (a) edge (g1);
\path[-,red,thick]
(f) edge (c);

\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Minimais e Maximais - Exercício 7.24}

\begin{block}{Exercício 7.24:}
Prove que um conjunto finito ordenado \alert{não vazio} tem pelo menos um elemento minimal e
um elemento maximal.
\end{block}

\begin{block}{Solução: por indução}
\begin{itemize}
\item Seja $R$ uma relação de ordem sobre um conjunto finito $B$.
\item Vamos provar por indução no tamanho $n$ de $B$.
\item \textbf{Caso base:} $n=1\ \Tto\ $o único elemento de $B$ é minimal e maximal. (\textbf{Ok})
\item \textbf{H.I:} Fixe $n>1$ e assuma valer para todo conjunto de tamanho $<\ n$.
\item \textbf{P.I:} \cor{Vamos provar que vale para $n$. Ou seja, se $B$ tem tamanho $n$, então $B$ tem elemento minimal e maxinal sob a relação $R$.}
\item Seja $b\in B$. Por H.I., $B-\{b\}$ tem minimal $m$ e maximal $M$ sob $R$.
\item Por definição, $\forall x\in B-\{b\}: x\cnot{\leq}_R m$ e $M\cnot{\leq}_R x$.
\item Se $b\cnot{\leq}_R m \tto$\ $m$ é minimal em $B$. Se $b\leq_R m$\ $\tto$\ $b$ é minimal em $B$.
\item Se $M\cnot{\leq}_R b \tto$\ $M$ é maximal em $B$. Se $M\leq_R b$\ $\tto$\ $b$ é maximal em $B$.
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Minimais e Maximais - Exercício 7.25}

%\begin{block}{Exercício 7.25:}
Seja $A=\{3,6,9,\ldots\}$ o conjunto dos múltiplos positivos de $3$ e seja $R$ a relação sobre $A$ tal que $x\leq_R y$ se e só se todos os algarismos decimais de $x$ aparecem em $y$ na mesma sequência. Por exemplo, $262\leq_R 12682$, mas $262\cnot{\leq}_R 12268$.
Ache os minimais de $A$ sob $R$.  Existe algum maximal?
%\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item \cor{Não há maximal.} Todo $x$ múltiplo de 3 é sequência de $10\cdot x$.
\item \alert{Minimais} pertencem à $A$: múltiplos de 3. Não tem sequência múltipla de 3 em sua sequência de algarismos, além dele mesmo.
\item 3,6,9,12,15,18,21,24,27,42,45,48,51,54,57,72,75,78,81,84,87
\item 111, 114, 117, 141, 144, 147, 171, 174, 177,
\item 222, 225, 228, 252, 255, 258, 282, 285, 288,
\item 411, 414, 417, 441, 444, 447, 471, 474, 477,
\item 522, 525, 528, 552, 555, 558, 582, 585, 588,
\item 711, 714, 717, 741, 744, 747, 771, 774, 777,
\item 822, 825, 828, 852, 855, 858, 882, 885, 888,
\item \textbf{Não há minimais com 4 algarismos ou mais}. \alert{\bf PROVE}.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Minimais e Maximais - Exercício 7.25}

%\begin{block}{Exercício 7.25:}
Seja $A=\{3,6,9,\ldots\}$ o conjunto dos múltiplos positivos de $3$ e seja $R$ a relação sobre $A$ tal que $x\leq_R y$ se e só se todos os algarismos decimais de $x$ aparecem em $y$ na mesma sequência. Por exemplo, $262\leq_R 12682$, mas $262\cnot{\leq}_R 12268$.
Ache os minimais de $A$ sob $R$.  Existe algum maximal?
%\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item 1 algarismo: deve ser múltiplo de três: 3, 6 e 9.
\item 2 algarismos: Não pode ter algarismo múltiplo de 3: um resto 1 e outro resto 2 na divisão por 3.
\item 3 algarismos: Não pode ter algarismo múltiplo de 3, não pode ter um com resto 1 e outro resto 2 na divisão por 3: todos tem resto 1 ou resto 2.
\item $\geq 4$ algarismos: terá uma sequência de tamanho 1, 2 ou 3 de um número múltiplo de 3.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Minimais e Maximais - Exercício 7.28}

\begin{block}{Exercício 7.28:}
Seja $A$ o conjunto das sequências de 4 bits (algarismos 0 ou 1), exceto a sequência
0000, e seja $R$ a relação de ordem parcial tal que $x\leq_R y$ se e só se cada bit de $x$ é menor ou igual ao bit correspondente de $y$. Assim, por exemplo, $0100\leq_R 1100$, mas $1001\cnot{\leq}_R 0101$. Quais são os elementos mínimos, máximos, minimais e maximais de $A$ sob $R$?
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.45]{hasse-4bits.png}
%\caption{Spider operations: thin and thick spiders}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Minimais e Maximais - Exercício 7.28}

\begin{block}{Exercício 7.28:}
Seja $A$ o conjunto das sequências de 4 bits (algarismos 0 ou 1), \alert{exceto a sequência
0000}, e seja $R$ a relação de ordem parcial tal que $x\leq_R y$ se e só se cada bit de $x$ é menor ou igual ao bit correspondente de $y$. Assim, por exemplo, $0100\leq_R 1100$, mas $1001\cnot{\leq}_R 0101$. Quais são os elementos mínimos, máximos, minimais e maximais de $A$ sob $R$?
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.45]{hasse-4bits2.png}
%\caption{Spider operations: thin and thick spiders}
\end{figure}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{\centering
\huge{\alert{Capítulo 7.2\\RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA}}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Notação $x\equiv_R y$ para Relação de Equivalência $R$}

\begin{block}{Notação $x\equiv_R y$ p/ Relação de Equivalência $R$}
\begin{itemize}
\item $x$ é equivalente a $y$ módulo $R$
\item $x\equiv_R y$\ $\Iff$\ $x\equiv y$ mod $R$\ $\Iff$\ $x R y$\ $\Iff$\ $(x,y)\in R$.
\item $x\not\equiv_R y$\ $\Iff$\ $x\not\equiv y$ mod $R$\ $\Iff$\ $x\cnot{R}y$\ $\Iff$\ $(x,y)\not\in R$.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Contraste com ordens parciais}
\begin{itemize}
\item $x\leq_R y$,\ \ \ $x\geq_R y$,\ \ \ $x<_R y$,\ \ \ $x>_R y$.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Exemplo divisibilidade (Teoria dos Números)}
\begin{itemize}
\item Divisibilidade / Congruência
\item $x\equiv y\ mod\ z$\ $\Iff$\ $x-y$ é múltiplo de $z$.
\item $x\equiv y\ mod\ z$\ $\Iff$\ $x$ e $y$ tem o mesmo resto na divisão por $z$.
\item $11\equiv 20\ mod\ 3$\ \ e\ \ $40\equiv 49\ mod\ 3$
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Teorema 7.1}

\begin{block}{Teorema 7.1:}
Seja $R$ uma relação de equivalência sobre um conjunto $A$ não vazio. As seguintes afirmações são equivalentes.
\begin{itemize}
\item $a\equiv_ Rb\ \ \Iff\ \ [a]_R = [b]_R\ \ \Iff\ \ [a]_R\cap[b]_R\neq\emptyset$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Prova :\ \ \textbf{$1\ \ \Tto\ \ 2$}}
\begin{itemize}
\item Suponha \alert{$a\equiv_R b$}. Logo \cor{$b\equiv_R a$}.
\item $c\in[a]_R\ \TtoB{def}\ \alert{c\equiv_R a}\ \TtoB{tr}\ \alert{c\equiv_R b}\ \TtoB{def}\ c\in[b]_R$
\item Logo $[a]_R\subseteq[b]_R$.
\item $c\in[b]_R\ \TtoB{def}\ \cor{c\equiv_R b}\ \TtoB{tr}\ \cor{c\equiv_R a}\ \TtoB{def}\ c\in[a]_R$
\item Logo $[b]_R\subseteq[a]_R$.
\item Portanto $[a]_R=[b]_R$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Teorema 7.1}

\begin{block}{Teorema 7.1:}
Seja $R$ uma relação de equivalência sobre um conjunto $A$ não vazio. As seguintes afirmações são equivalentes.
\begin{itemize}
\item $a\equiv_ Rb\ \ \Iff\ \ [a]_R = [b]_R\ \ \Iff\ \ [a]_R\cap[b]_R\neq\emptyset$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Prova :\ \ \textbf{$2\ \ \Tto\ \ 3$}}
\begin{itemize}
\item Suponha $[a]_R=[b]_R$.
\item Como $(a,a)\in R$, então $a\in[a]_R$
\item Logo $[a]_R=[b]_R\ne\emptyset$.
\item Portanto $[a]_R\cap[b]_R$ não é vazio.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Teorema 7.1}

\begin{block}{Teorema 7.1:}
Seja $R$ uma relação de equivalência sobre um conjunto $A$ não vazio. As seguintes afirmações são equivalentes.
\begin{itemize}
\item $a\equiv_ Rb\ \ \Iff\ \ [a]_R = [b]_R\ \ \Iff\ \ [a]_R\cap[b]_R\neq\emptyset$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Prova :\ \ \textbf{$3\ \ \Tto\ \ 1$}}
\begin{itemize}
\item Suponha que $[a]_R\cap[b]_R$ não é vazio.
\item Seja $c\in[a]_R\cap[b]_R$. Logo $c\equiv_R a$ e $c\equiv_R b$.
\item Por simetria, $a\equiv_R c$.
\item Por transitividade, $a\equiv_R b$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Teorema 7.2}

\begin{block}{Teorema 7.2:}
Seja $P$ uma partição do conjunto $A$.
A relação $R$ tal que $a\equiv_R b$ se e só se $a$ e $b$ estão em uma mesma parte (bloco) de $P$ é uma relação de equivalência, e suas classes de equivalências são as partes (blocos) da partição $P$.
\end{block}

\begin{block}{Prova:}
\begin{itemize}
\item \textbf{\cor{REF:}} $a$ e $a$ pertencem ao mesmo bloco, pois são iguais. Logo $a\equiv_R a$
\item \textbf{\cor{SIM:}} $a\equiv_R b\Tto\ $ $a$ e $b$ estão no mesmo bloco\ $\Tto$\ $b\equiv_R a$.
\item \textbf{\cor{TR:}} $a\equiv_R b\ \And\ b\equiv_R c\ \Tto\ $ $a$, $b$ e $c$ estão no mesmo bloco\ $\Tto$\ $a\equiv_R c$.
\item Lembrar que os blocos de uma partição são disjuntos (interseção vazia).
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.29}

\begin{block}{Exercício 7.29:}
Seja $S=\{(x,y)\in\RR\times\RR : x−y\in\QQ\}$. Prove que $S$ é uma relação de equivalência.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item \textbf{\cor{REF:}} $x-x=0\in\QQ\ \TtoB{def}\ (x,x)\in S$
\item \textbf{\cor{SIM:}} $(x,y)\in S\ \TtoB{def}\ x-y\in\QQ\ \Tto\ y-x\in\QQ\ \TtoB{def}\ (y,x)\in S$
\item \textbf{\cor{SIM:}} \ \ $x\equiv_S y\ \ \ \TtoB{def}\ x-y\in\QQ\ \Tto\ y-x\in\QQ\ \TtoB{def}\ \ y\equiv_S x$
\item \textbf{\cor{TR:}} $x\equiv_S y\ \And\ y\equiv_S z\ \TtoB{def}\ x-y\in\QQ\ \And\ y-z\in\QQ$
\item $\Tto\ (x-y)+(y-z)=x-z\in\QQ\ \TtoB{def}\ x\equiv_S z$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.30}

\begin{block}{Exercício 7.30:}
Seja $R$ a relação sobre o conjunto dos pares ordenados de inteiros positivos
tal que $(a,b)R(c,d)$ se e só se $a\cdot d = b\cdot c$.
(a) Prove que $R$ é uma relação de equivalência.
(b) Descreva a classe de equivalência de $(1,2)$ em $R$.
\end{block}

\begin{block}{Solução (a):}
\begin{itemize}
\item \textbf{\cor{REF:}} $a\cdot b=b\cdot a\ \TtoB{def}\ (a,b)R(a,b)$
\item \textbf{\cor{SIM:}} $(a,b)R(c,d)\ \TtoB{def}\ a\cdot d = b\cdot c\ \TtoB{def}\ (c,d)R(a,b)$.
\item \textbf{\cor{TR:}} $(a,b)R(c,d)\ \And\ (c,d)R(e,f)\ \TtoB{def}\ a\cdot d = b\cdot c\ \And\ c\cdot f=d\cdot e$
\item $\Tto\ a\cdot(c\cdot f)=a\cdot(d\cdot e)=(b\cdot c)\cdot e$
\item $\Tto\ a\cdot f=b\cdot e\ \TtoB{def}\ (a,b)R(e,f)$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.30}

\begin{block}{Exercício 7.30:}
Seja $R$ a relação sobre o conjunto de pares ordenados de $\ZZ^+$ (inteiros positivos)
tal que $(a,b)R(c,d)$ se e só se $a\cdot d = b\cdot c$.
(a) Prove que $R$ é uma relação de equivalência.
(b) Descreva a classe de equivalência de $(1,2)$ em $R$.
\end{block}

\begin{block}{Solução (b):}
\begin{itemize}
\item $(x,y)R(1,2)\ \TtoB{def}\ 2x=y$. Portanto,
\item $[(1,2)]_R\ =\ \{(x,2x)\ :\ x\in\ZZ^+\}$.
\item $[(1,2)]_R\ =\ \{(1,2),\ (2,4),\ (3,6),\ (4,8)\ ,(5,10),\ \ldots\}$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.31}

\begin{block}{Exercício 7.31:}
Seja $R$ a relação sobre o conjunto dos pares ordenados de $\ZZ^+$
tal que $(a,b)R(c,d)$ se e sé se $a + d = b + c$.
(a) Prove que $R$ é uma relação de equivalência.
(b) Descreva a classe de equivalência de $(3,1)$ sob $R$.
(c) Descreva as classes de equivalência de $R$.
\end{block}

\begin{block}{Solução (a):}
\begin{itemize}
\item \textbf{\cor{REF:}} $a+b=b+a\ \TtoB{def}\ (a,b)R(a,b)$
\item \textbf{\cor{SIM:}} $(a,b)R(c,d)\ \TtoB{def}\ a+d = b+c\ \TtoB{def}\ (c,d)R(a,b)$.
\item \textbf{\cor{TR:}} $(a,b)R(c,d)\ \And\ (c,d)R(e,f)\ \TtoB{def}\ a+d = b+c\ \And\ c+f=d+e$
\item $\Tto\ a+(c+f)=a+(d+e)=(b+c)+e$
\item $\Tto\ a+f=b+e\ \TtoB{def}\ (a,b)R(e,f)$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.31}

\begin{block}{Exercício 7.31:}
Seja $R$ a relação sobre o conjunto dos pares ordenados de $\ZZ^+$
tal que $(a,b)R(c,d)$ se e sé se $a + d = b + c$.
(a) Prove que $R$ é uma relação de equivalência.
(b) Descreva a classe de equivalência de $(3,1)$ sob $R$.
(c) Descreva as classes de equivalência de $R$.
\end{block}

\begin{block}{Solução (b):}
\begin{itemize}
\item $(x,y)R(3,1)\ \TtoB{def}\ x+1=y+3\ \Tto\ x=y+2$. Portanto,
\item $[(3,1)]_R\ =\ \{(y+2,y)\ :\ y\in\ZZ^+\}$.
\item $[(3,1)]_R\ =\ \{(3,1),\ (4,2),\ (5,3),\ (6,4)\ ,(7,5),\ \ldots\}$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.31}

\begin{block}{Exercício 7.31:}
Seja $R$ a relação sobre o conjunto dos pares ordenados de $\ZZ^+$
tal que $(a,b)R(c,d)$ se e só se $a + d = b + c$.
(a) Prove que $R$ é uma relação de equivalência.
(b) Descreva a classe de equivalência de $(3,1)$ sob $R$.
(c) Descreva as classes de equivalência de $R$.
\end{block}

\begin{block}{Solução (c):}
\begin{itemize}
\item $x>y\ \Tto\ (x,y)R(x-y+1,1)\ \Tto\ (x,y)\ \in\ [(x-y+1,1)]_R$.
\item $x<y\ \Tto\ (x,y)R(1,y-x+1)\ \Tto\ (x,y)\ \in\ [(1,y-x+1)]_R$.
\item \alert{Resumindo:}
\item $[(a,1)]_R = \{(x,y) : x=y$+$a$-$1\} = \{(a,1),(a$+$1,2),(a$+$2,3),\ldots\}$
\item $[(1,a)]_R = \{(x,y) : y=x$+$a$-$1\} = \{(1,a),(2,a$+$1),(3,a$+$2),\ldots\}$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.32}

Prove que as relações são de equivalência. Descreva
suas classes.
\begin{itemize}
\item[(a)] Seja $R$ a relação sobre $\ZZ$ definida por $mRn$ se e só se $2$ divide $m−n$.
\item[(b)] Seja $S$ a relação sobre $\RR$ definida por $xRy$ se e só se $|x| = |y|$.
\item[(c)] Seja $F$ a relação sobre $\ZZ^+$ tal que $xFy$ se e só se todo número primo que divide $x$ divide $y$, e vice-versa.
\end{itemize}

\begin{block}{Solução (a):}
\begin{itemize}
\item $xRy\ \IffB{def}\ 2$ divide $x-y\ \Iff\ x-y$ é par.
\item \textbf{\cor{REF:}} $x-x=0$ é par\ $\TtoB{def}\ xRx$
\item \textbf{\cor{SIM:}} $xRy\ \TtoB{def}\ x-y$ é par $\ \Tto y-x$ é par $\ \TtoB{def}\ yRx$.
\item \textbf{\cor{TR:}} $xRy\ \And\ yRz\ \TtoB{def}\ x-y$ e $y-z$ são pares
\item $\Tto\ (x-y)+(y-z)$ é par $\Tto\ x-z$ é par $\ \TtoB{def}\ xRz$.
\item Duas classes de equivalência: Números pares e Números ímpares.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.32}

Prove que as relações são de equivalência. Descreva
suas classes.
\begin{itemize}
\item[(a)] Seja $R$ a relação sobre $\ZZ$ definida por $mRn$ se e só se $2$ divide $m−n$.
\item[(b)] Seja $S$ a relação sobre $\RR$ definida por $xRy$ se e só se $|x| = |y|$.
\item[(c)] Seja $F$ a relação sobre $\ZZ^+$ tal que $xFy$ se e só se todo número primo que divide $x$ divide $y$, e vice-versa.
\end{itemize}

\begin{block}{Solução (b):}
\begin{itemize}
\item $xSy\ \IffB{def}\ |x|=|y|\ \Iff\ x=\pm y$.
\item \textbf{\cor{REF:}} $|x|=|x|$\ $\TtoB{def}\ xSx$
\item \textbf{\cor{SIM:}} $xSy\ \TtoB{def}\ |x|=|y|\ \Tto ySx$.
\item \textbf{\cor{TR:}} $xSy\ \And\ ySz\ \TtoB{def}\ |x|=|y|$ e $|y|=|z|$
\item $\Tto\ |x|=|z|\ \TtoB{def}\ xSz$.
\item \cor{Classes de equivalência:} $\{x,-x\}$ para todo $x\in\RR^+$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.32}

Prove que as relações são de equivalência. Descreva
suas classes.
\begin{itemize}
\item[(a)] Seja $R$ a relação sobre $\ZZ$ definida por $mRn$ se e só se $2$ divide $m−n$.
\item[(b)] Seja $S$ a relação sobre $\RR$ definida por $xRy$ se e só se $|x| = |y|$.
\item[(c)] Seja $F$ a relação sobre $\ZZ^+$ tal que $xFy$ se e só se todo número primo que divide $x$ divide $y$, e vice-versa.
\end{itemize}

\begin{block}{Solução (c):}
\begin{itemize}
\item $xFy\ \IffB{def}\ (\forall$ primo $p : x=k_1\cdot p\leftrightarrow y=k_2\cdot p)$ para $k_1,k_2\in\NN$.
\item $xFy\ \IffB{def}$ fatoração de $x$ e $y$ gera os mesmos primos (*)$_{x,y}$ (ex: $24F36,\ 36F54,\ 24\cnot{F}30$).
\item \cor{$24=2^3\cdot 3$},\ \ $36=2^2\cdot 3^2$,\ \ \cor{$54=2\cdot 3^3$},\ \ $30=2\cdot 3\cdot 5$.
\item \textbf{\cor{REF:}} $(x=k_1\cdot p\leftrightarrow x=k_1\cdot p)\ \TtoB{def}\ xFx$
\item \textbf{\cor{SIM:}} $xFy\ \TtoB{def}\ (*)_{x,y}\ \Tto\ (*)_{y,x}\ \TtoB{def} yFx$.
\item \textbf{\cor{TR:}} $xFy\ \And\ yFz\ \TtoB{def}\ (*)_{x,y} \And (*)_{y,z}\ \Tto\ (*)_{x,z}\ \TtoB{def}\ xFz$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.32}

Prove que as relações são de equivalência. Descreva
suas classes.
\begin{itemize}
\item[(a)] Seja $R$ a relação sobre $\ZZ$ definida por $mRn$ se e só se $2$ divide $m−n$.
\item[(b)] Seja $S$ a relação sobre $\RR$ definida por $xRy$ se e só se $|x| = |y|$.
\item[(c)] Seja $F$ a relação sobre $\ZZ^+$ tal que $xFy$ se e só se todo número primo que divide $x$ divide $y$, e vice-versa.
\end{itemize}

\begin{block}{Solução (c):}
\begin{itemize}
\item\textbf{Classes}: para todo subconjunto $P=\{p_1,\ldots,p^n\}$ de primos
\item Classe $\{n=\prod_{i=1}^n p_i^{k_i},\ k_i\in\ZZ^+\}\ =\ \{p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\ldots\cdot p_n^{k_n}\}$.
\item \alert{Resumindo: para $a,b,c,d,\ldots\in\ZZ^+$}
\item $\{1\},\ \{2^a\},\ \{2^a3^b\},\ \{2^a5^b\},\ \{3^a5^b\},\ \{2^a3^b5^c\},\ \{7^a\}, \{2^a7^b\},\ \{3^a7^b\}$
\item $\{5^a7^b\},\ \{2^a3^b7^c\},\ \{2^a5^b7^c\},\  \{3^a5^b7^c\},\ \{2^a3^b5^c7^d\},\ \{11^a\},\ldots$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.33}

Seja $A$ o conjunto de todas as proposições nas variáveis $x$, $y$ e $z$. Seja $\mathcal{L}$ a relação sobre $A$ tal que $P\mathcal{L}Q$ se e só se $P$ e $Q$ tem a mesma tabela verdade. Prove que $L$ é uma relação de equivalência.

\begin{block}{Solução}
\begin{itemize}
\item $P\mathcal{L}Q$ \cor{se e só se} $P$ e $Q$ tem a mesma tabela verdade
\item $P\mathcal{L}Q$ \cor{se e só se} $(P\iff Q)$ \cor{se e só se} $P\leftrightarrow Q$ é tautologia (sempre V)
\item $\mathcal{L}$ é a relação de equivalência lógica sobre o conjunto de todas as proposições nas variáveis $x$, $y$ e $z$.
\item ``$\iff$'' é REF, SIM e TR.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.34}

\begin{block}{Exercício 7.34}
Seja $\varepsilon$ um número real positivo e considere a relação $\approx_\varepsilon$ sobre $\RR$ tal que
$x\approx_\varepsilon y$ se e só se $|x−y|\leq\varepsilon$. Esta é uma relação de equivalência?
\end{block}

\begin{block}{Solução: NÃO}
\begin{itemize}
\item $0\approx_\varepsilon \varepsilon$\ e\ $\varepsilon\approx_\varepsilon 2\varepsilon$. Mas $0\ \cnot{\approx_\varepsilon}\ 2\varepsilon$.
\end{itemize}
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Exercício 7.35}

Seja $R$ a relação sobre pares ordenados de inteiros tal que
$(a,b)R(c,d)$ se e só se  $(a=c)\And(b=d)$\ \ ou\ \ $(a=d)\And(b=c)$. Esta é uma relação de equivalência? Se sim, descreva suas classes de equivalência.

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item Exemplo: $(1,2)R(1,2)$\ \ \ \ \ \ \ \ e\ \ \ \ $(1,2)R(2,1)$.
\item Exemplo: $((1,2),(1,2))\in R$\ e\ \ \ \ $((1,2),(2,1))\in R$.
\item \alert{Notação $(**)_{a,b,c,d}$:}\ \ $(a=c)\And(b=d)$\ \ ou\ \ $(a=d)\And(b=c)$
\item \textbf{\cor{REF:}} $(x=x)\And(y=y)\ \TtoB{def}\ (x,y)R(x,y)$.
\item \textbf{\cor{SIM:}} $(a,b)R(c,d) \TtoB{def} (**)_{a,b,c,d} \Tto (**)_{c,d,a,b} \TtoB{def} (c,d)R(a,b)$.
\item \textbf{\cor{TR:}} $(a,b)R(c,d)\ \And\ (c,d)R(e,f)\ \TtoB{def}\ (**)_{a,b,c,d} \And (**)_{c,d,e,f}\ \alert{\Tto}\ (**)_{a,b,e,f}\ \TtoB{def}\ (a,b)R(e,f))$.
\item \cor{Classes de equivalência:} $\{(x,y),(y,x)\}$ para todo $x\leq y\in\ZZ$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Relações de Equivalência - Revisão Teoremas 7.1 e 7.2}

\begin{block}{Teorema 7.1: Re$\ell$. equivalência em $A$ $\Tto$ Partição de $A$}
Seja $R$ uma relação de equivalência sobre um conjunto $A$ não vazio. As seguintes afirmações são equivalentes.
\begin{itemize}
\item $a \equiv_Rb\ \ \Iff\ \ [a]_R = [b]_R\ \ \Iff\ \ [a]_R\cap[b]_R\neq\emptyset$.
\end{itemize}
\textbf{Conclusão:} Classes de equivalência formam uma partição de $A$, pois.
\begin{itemize}
\item $a\ \cnot{\equiv}_R\ b\ \ \Iff\ \ [a]_R \ne [b]_R\ \ \Iff\ \ [a]_R\cap[b]_R=\emptyset$.
\end{itemize}
\end{block}

\vspace{1cm}

\begin{block}{Teorema 7.2: Partição de $A$ $\Tto$ Re$\ell$. equivalência em $A$}
Seja $P$ uma \alert{partição} do conjunto $A$.
A relação $R$ tal que $a\equiv_R b$ se e só se \textbf{$a$ e $b$ estão em uma mesma parte} (bloco) de $P$ é uma relação de equivalência, e suas classes de equivalências são as partes (blocos) da partição $P$.
\end{block}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Partições e Relações de Equivalência}

\begin{block}{Exemplo}
Relação de congruência módulo $3$.
\end{block}

\begin{figure}\centering\scalebox{1}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=black!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node at (9.35,0) {.};
\node[vert1] (a) at (0,4) {$0$};
\node[vert1] (b) at (0,3) {$3$};
\node[vert1] (c) at (0,2) {$6$};
\node[vert1] (d) at (0,1) {$9$};
\node[vert1] (e) at (0,0) {$12$};
\draw[<->,blue,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,blue,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,blue,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[<->,blue,thick] (d) to [bend left=15] (e);
\draw[<->,blue,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[<->,blue,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[<->,blue,thick] (c) to [bend left=30] (e);
\draw[<->,blue,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[<->,blue,thick] (b) to [bend left=45] (e);
\draw[<->,blue,thick] (a) to [bend left=60] (e);
\draw[->,blue,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (a);
\draw[->,blue,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (b);
\draw[->,blue,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (c);
\draw[->,blue,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (d);
\draw[->,blue,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (e);

\node[vert1] (a) at (2,4) {$1$};
\node[vert1] (b) at (2,3) {$4$};
\node[vert1] (c) at (2,2) {$7$};
\node[vert1] (d) at (2,1) {$10$};
\node[vert1] (e) at (2,0) {$13$};
\draw[<->,green,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,green,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,green,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[<->,green,thick] (d) to [bend left=15] (e);
\draw[<->,green,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[<->,green,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[<->,green,thick] (c) to [bend left=30] (e);
\draw[<->,green,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[<->,green,thick] (b) to [bend left=45] (e);
\draw[<->,green,thick] (a) to [bend left=60] (e);
\draw[->,green,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (a);
\draw[->,green,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (b);
\draw[->,green,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (c);
\draw[->,green,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (d);
\draw[->,green,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (e);

\node[vert1] (a) at (4,4) {$2$};
\node[vert1] (b) at (4,3) {$5$};
\node[vert1] (c) at (4,2) {$8$};
\node[vert1] (d) at (4,1) {$11$};
\node[vert1] (e) at (4,0) {$14$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,red,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[<->,red,thick] (d) to [bend left=15] (e);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[<->,red,thick] (c) to [bend left=30] (e);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=45] (e);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=60] (e);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (b);
\draw[->,red,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (c);
\draw[->,red,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (d);
\draw[->,red,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (e);

\end{tikzpicture}}
\end{figure}

3 classes de equivalência.
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Partições e Relações de Equivalência}

\begin{block}{Exemplo}
Relação de congruência módulo $4$.
\end{block}

\begin{figure}\centering\scalebox{1}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=black!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node at (9.35,0) {.};
\node[vert1] (a) at (0,4) {$0$};
\node[vert1] (b) at (0,3) {$4$};
\node[vert1] (c) at (0,2) {$8$};
\node[vert1] (d) at (0,1) {$12$};
\node[vert1] (e) at (0,0) {$16$};
\draw[<->,blue,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,blue,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,blue,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[<->,blue,thick] (d) to [bend left=15] (e);
\draw[<->,blue,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[<->,blue,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[<->,blue,thick] (c) to [bend left=30] (e);
\draw[<->,blue,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[<->,blue,thick] (b) to [bend left=45] (e);
\draw[<->,blue,thick] (a) to [bend left=60] (e);
\draw[->,blue,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (a);
\draw[->,blue,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (b);
\draw[->,blue,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (c);
\draw[->,blue,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (d);
\draw[->,blue,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (e);

\node[vert1] (a) at (2,4) {$1$};
\node[vert1] (b) at (2,3) {$5$};
\node[vert1] (c) at (2,2) {$9$};
\node[vert1] (d) at (2,1) {$13$};
\node[vert1] (e) at (2,0) {$17$};
\draw[<->,green,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,green,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,green,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[<->,green,thick] (d) to [bend left=15] (e);
\draw[<->,green,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[<->,green,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[<->,green,thick] (c) to [bend left=30] (e);
\draw[<->,green,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[<->,green,thick] (b) to [bend left=45] (e);
\draw[<->,green,thick] (a) to [bend left=60] (e);
\draw[->,green,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (a);
\draw[->,green,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (b);
\draw[->,green,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (c);
\draw[->,green,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (d);
\draw[->,green,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (e);

\node[vert1] (a) at (4,4) {$2$};
\node[vert1] (b) at (4,3) {$6$};
\node[vert1] (c) at (4,2) {$10$};
\node[vert1] (d) at (4,1) {$14$};
\node[vert1] (e) at (4,0) {$18$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,red,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[<->,red,thick] (d) to [bend left=15] (e);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[<->,red,thick] (c) to [bend left=30] (e);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=45] (e);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=60] (e);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (b);
\draw[->,red,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (c);
\draw[->,red,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (d);
\draw[->,red,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (e);

\node[vert1] (a) at (6,4) {$3$};
\node[vert1] (b) at (6,3) {$7$};
\node[vert1] (c) at (6,2) {$11$};
\node[vert1] (d) at (6,1) {$15$};
\node[vert1] (e) at (6,0) {$19$};
\draw[<->,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[<->,thick] (d) to [bend left=15] (e);
\draw[<->,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[<->,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[<->,thick] (c) to [bend left=30] (e);
\draw[<->,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[<->,thick] (b) to [bend left=45] (e);
\draw[<->,thick] (a) to [bend left=60] (e);
\draw[->,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (a);
\draw[->,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (b);
\draw[->,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (c);
\draw[->,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (d);
\draw[->,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (e);

\end{tikzpicture}}
\end{figure}

4 classes de equivalência.
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Partições e Relações de Equivalência}

\begin{block}{Exemplo}
Relação de congruência módulo $5$.
\end{block}

\begin{figure}\centering\scalebox{1}{
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=black!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\node at (9.35,0) {.};
\node[vert1] (a) at (0,4) {$0$};
\node[vert1] (b) at (0,3) {$5$};
\node[vert1] (c) at (0,2) {$10$};
\node[vert1] (d) at (0,1) {$15$};
\node[vert1] (e) at (0,0) {$20$};
\draw[<->,blue,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,blue,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,blue,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[<->,blue,thick] (d) to [bend left=15] (e);
\draw[<->,blue,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[<->,blue,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[<->,blue,thick] (c) to [bend left=30] (e);
\draw[<->,blue,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[<->,blue,thick] (b) to [bend left=45] (e);
\draw[<->,blue,thick] (a) to [bend left=60] (e);
\draw[->,blue,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (a);
\draw[->,blue,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (b);
\draw[->,blue,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (c);
\draw[->,blue,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (d);
\draw[->,blue,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (e);

\node[vert1] (a) at (2,4) {$1$};
\node[vert1] (b) at (2,3) {$6$};
\node[vert1] (c) at (2,2) {$11$};
\node[vert1] (d) at (2,1) {$16$};
\node[vert1] (e) at (2,0) {$21$};
\draw[<->,green,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,green,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,green,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[<->,green,thick] (d) to [bend left=15] (e);
\draw[<->,green,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[<->,green,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[<->,green,thick] (c) to [bend left=30] (e);
\draw[<->,green,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[<->,green,thick] (b) to [bend left=45] (e);
\draw[<->,green,thick] (a) to [bend left=60] (e);
\draw[->,green,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (a);
\draw[->,green,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (b);
\draw[->,green,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (c);
\draw[->,green,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (d);
\draw[->,green,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (e);

\node[vert1] (a) at (4,4) {$2$};
\node[vert1] (b) at (4,3) {$7$};
\node[vert1] (c) at (4,2) {$12$};
\node[vert1] (d) at (4,1) {$17$};
\node[vert1] (e) at (4,0) {$22$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,red,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[<->,red,thick] (d) to [bend left=15] (e);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[<->,red,thick] (c) to [bend left=30] (e);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=45] (e);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=60] (e);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (b);
\draw[->,red,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (c);
\draw[->,red,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (d);
\draw[->,red,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (e);

\node[vert1] (a) at (6,4) {$3$};
\node[vert1] (b) at (6,3) {$8$};
\node[vert1] (c) at (6,2) {$13$};
\node[vert1] (d) at (6,1) {$18$};
\node[vert1] (e) at (6,0) {$23$};
\draw[<->,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[<->,thick] (d) to [bend left=15] (e);
\draw[<->,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[<->,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[<->,thick] (c) to [bend left=30] (e);
\draw[<->,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[<->,thick] (b) to [bend left=45] (e);
\draw[<->,thick] (a) to [bend left=60] (e);
\draw[->,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (a);
\draw[->,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (b);
\draw[->,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (c);
\draw[->,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (d);
\draw[->,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (e);

\node[vert1] (a) at (8,4) {$4$};
\node[vert1] (b) at (8,3) {$9$};
\node[vert1] (c) at (8,2) {$14$};
\node[vert1] (d) at (8,1) {$19$};
\node[vert1] (e) at (8,0) {$24$};
\draw[<->,yellow,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,yellow,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,yellow,thick] (c) to [bend left=15] (d);
\draw[<->,yellow,thick] (d) to [bend left=15] (e);
\draw[<->,yellow,thick] (a) to [bend left=30] (c);
\draw[<->,yellow,thick] (b) to [bend left=30] (d);
\draw[<->,yellow,thick] (c) to [bend left=30] (e);
\draw[<->,yellow,thick] (a) to [bend left=45] (d);
\draw[<->,yellow,thick] (b) to [bend left=45] (e);
\draw[<->,yellow,thick] (a) to [bend left=60] (e);
\draw[->,yellow,thin] (a)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (a);
\draw[->,yellow,thin] (b)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (b);
\draw[->,yellow,thin] (c)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (c);
\draw[->,yellow,thin] (d)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (d);
\draw[->,yellow,thin] (e)  to [out=-30,in=30,looseness=5] (e);

\end{tikzpicture}}
\end{figure}

5 classes de equivalência.
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Partições e Relações de Equivalência}

\corB{Exemplo (ver Ex. 7.16 de ordens}):\\
\textbf{\cor{Relação de ordem parcial}} $x\sqsubset y$ $\Iff$ $x$ é subpalavra de $y$.\\
\textbf{\alert{Relação de equivalência}}\ \ \ $x\ \#\ y$ $\Iff$ $x$ e $y$ tem o mesmo tamanho.

\begin{figure}\centering\scalebox{1.0}{
\begin{tikzpicture}[auto]
%\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=black!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\tikzstyle{vert1}=[]
\node[vert1] (a) at (0,0) {$b$};
\node[vert1] (b) at (2,0) {$a$};
\node[vert1] (c) at (4,0) {$n$};
\node[vert1] (x) at (0,1) {$ba$};
\node[vert1] (y) at (2,1) {$an$};
\node[vert1] (z) at (4,1) {$na$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (x) (b) edge (x) edge (y) edge (z) (c) edge (y) edge (z);

\node[vert1] (a) at (0,2) {$ban$};
\node[vert1] (b) at (2,2) {$ana$};
\node[vert1] (c) at (4,2) {$nan$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (x) edge (y) (b) edge (y) edge (z) (c) edge (y) edge (z);

\node[vert1] (x) at (0,3) {$bana$};
\node[vert1] (y) at (2,3) {$anan$};
\node[vert1] (z) at (4,3) {$nana$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (x) (b) edge (x) edge (y) edge (z) (c) edge (y) edge (z);

\node[vert1] (a) at (1,4) {$banan$};
\node[vert1] (b) at (3,4) {$anana$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (x) edge (y) (b) edge (y) edge (z);

\node[vert1] (x) at (2,5) {$banana$};
\path[-,blue,thick]
(x) edge (a) edge (b);




\node[vert1] (a) at (6+0,0) {$b$};
\node[vert1] (b) at (6+2,0) {$a$};
\node[vert1] (c) at (6+4,0) {$n$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=25] (c);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=60,in=120,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=60,in=120,looseness=5] (b);
\draw[->,red,thin] (c)  to [out=60,in=120,looseness=5] (c);

\node[vert1] (a) at (6+0,1) {$ba$};
\node[vert1] (b) at (6+2,1) {$an$};
\node[vert1] (c) at (6+4,1) {$na$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=25] (c);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=60,in=120,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=60,in=120,looseness=5] (b);
\draw[->,red,thin] (c)  to [out=60,in=120,looseness=5] (c);

\node[vert1] (a) at (6+0,2) {$ban$};
\node[vert1] (b) at (6+2,2) {$ana$};
\node[vert1] (c) at (6+4,2) {$nan$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=25] (c);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=60,in=120,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=60,in=120,looseness=5] (b);
\draw[->,red,thin] (c)  to [out=60,in=120,looseness=5] (c);

\node[vert1] (a) at (6+0,3) {$bana$};
\node[vert1] (b) at (6+2,3) {$anan$};
\node[vert1] (c) at (6+4,3) {$nana$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=25] (c);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=60,in=120,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=60,in=120,looseness=5] (b);
\draw[->,red,thin] (c)  to [out=60,in=120,looseness=5] (c);

\node[vert1] (a) at (6+1,4) {$banan$};
\node[vert1] (b) at (6+3,4) {$anana$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=60,in=120,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=60,in=120,looseness=5] (b);

\node[vert1] (a) at (6+2,5) {$banana$};
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=60,in=120,looseness=5] (a);
\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Partições e Relações de Equivalência}

\corB{Exemplo (ver Ex. 7.16 de ordens}):\\
\textbf{\cor{Relação de ordem parcial}} $x\sqsubset y$ $\Iff$ $x$ é subpalavra de $y$.\\
\textbf{\alert{Relação de equivalência}}\ \ \ $x\ \#\ y$ $\Iff$ $x$ e $y$ tem o mesmo tamanho.

\begin{figure}\centering\scalebox{1.0}{
\begin{tikzpicture}[auto]
%\tikzstyle{vert1}=[draw,circle,fill=black!15,minimum size=12pt,inner sep=1pt]
\tikzstyle{vert1}=[]
\node[vert1] (a) at (0.0,0) {$b$};
\node[vert1] (b) at (1.5,0) {$o$};
\node[vert1] (c) at (3.0,0) {$c$};
\node[vert1] (d) at (4.5,0) {$a$};
\node[vert1] (w) at (1.5,1) {$bo$};
\node[vert1] (x) at (0.0,1) {$ob$};
\node[vert1] (y) at (3.0,1) {$oc$};
\node[vert1] (z) at (4.5,1) {$ca$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (w) edge (x) (b) edge (w) edge (x) edge (y) (c) edge (y) edge (z) (d) edge (z);

\node[vert1] (a) at (0.0,2) {$bob$};
\node[vert1] (b) at (1.5,2) {$obo$};
\node[vert1] (c) at (3.0,2) {$boc$};
\node[vert1] (d) at (4.5,2) {$oca$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (w) edge (x) (b) edge (w) edge (x) (c) edge (w) edge (y) (d) edge (y) edge (z);

\node[vert1] (x) at (0.5,3) {$bobo$};
\node[vert1] (y) at (2.25,3){$oboc$};
\node[vert1] (z) at (4.0,3) {$boca$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (x) (b) edge (x) edge (y) (c) edge (y) edge (z) (d) edge (z);

\node[vert1] (a) at (1.2,4) {$boboc$};
\node[vert1] (b) at (3.3,4) {$oboca$};
\path[-,blue,thick]
(a) edge (x) edge (y) (b) edge (y) edge (z);

\node[vert1] (x) at (2.25,5) {$boboca$};
\path[-,blue,thick]
(x) edge (a) edge (b);




\node[vert1] (a) at (6+0.0,0) {$b$};
\node[vert1] (b) at (6+1.5,0) {$o$};
\node[vert1] (c) at (6+3.0,0) {$c$};
\node[vert1] (d) at (6+4.5,0) {$a$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=10] (b);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=10] (c);
\draw[<->,red,thick] (c) to [bend left=10] (d);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=25] (c);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=25] (d);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=30] (d);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=60,in=120,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=60,in=120,looseness=5] (b);
\draw[->,red,thin] (c)  to [out=60,in=120,looseness=5] (c);
\draw[->,red,thin] (d)  to [out=60,in=120,looseness=5] (d);

\node[vert1] (a) at (6+0.0,1) {$bo$};
\node[vert1] (b) at (6+1.5,1) {$ob$};
\node[vert1] (c) at (6+3.0,1) {$oc$};
\node[vert1] (d) at (6+4.5,1) {$ca$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=10] (b);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=10] (c);
\draw[<->,red,thick] (c) to [bend left=10] (d);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=25] (c);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=25] (d);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=30] (d);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=60,in=120,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=60,in=120,looseness=5] (b);
\draw[->,red,thin] (c)  to [out=60,in=120,looseness=5] (c);
\draw[->,red,thin] (d)  to [out=60,in=120,looseness=5] (d);

\node[vert1] (a) at (6+0.0,2) {$bob$};
\node[vert1] (b) at (6+1.5,2) {$obo$};
\node[vert1] (c) at (6+3.0,2) {$boc$};
\node[vert1] (d) at (6+4.5,2) {$oca$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=10] (b);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=10] (c);
\draw[<->,red,thick] (c) to [bend left=10] (d);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=25] (c);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=25] (d);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=30] (d);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=60,in=120,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=60,in=120,looseness=5] (b);
\draw[->,red,thin] (c)  to [out=60,in=120,looseness=5] (c);
\draw[->,red,thin] (d)  to [out=60,in=120,looseness=5] (d);

\node[vert1] (a) at (6+0.0,3) {$bobo$};
\node[vert1] (b) at (6+2.25,3){$oboc$};
\node[vert1] (c) at (6+4.5,3) {$boca$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=15] (b);
\draw[<->,red,thick] (b) to [bend left=15] (c);
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=25] (c);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=60,in=120,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=60,in=120,looseness=5] (b);
\draw[->,red,thin] (c)  to [out=60,in=120,looseness=5] (c);

\node[vert1] (a) at (6+1.0,4) {$boboc$};
\node[vert1] (b) at (6+3.5,4) {$oboca$};
\draw[<->,red,thick] (a) to [bend left=20] (b);
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=60,in=120,looseness=5] (a);
\draw[->,red,thin] (b)  to [out=60,in=120,looseness=5] (b);

\node[vert1] (a) at (6+2.25,5) {$boboca$};
\draw[->,red,thin] (a)  to [out=60,in=120,looseness=5] (a);
\end{tikzpicture}}
\end{figure}
}




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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\frame{\centering
\huge{\alert{Capítulo 8\\FUNÇÕES}}
}
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\frame{
\frametitle{FUNÇÕES (Capítulo 8)}

\begin{block}{Definição de Função}
Dizemos que uma relação $f$ é uma \textbf{função} se, para todo $a\in Dom(f)$, existe exatamente um $b$ tal que $(a,b)\in f$ (ou $a\ f\ b$). Nesse caso, dizemos que $f(a)=b$. Ver exemplos do livro.
\end{block}

\vspace{1cm}

\begin{block}{Observação: Funções são Relações}
Toda função é uma relação. Então todos os conceitos de relações, continuam a existir para funções.
\begin{itemize}
\item Domínio $Dom(f)$ e Imagem $Img(f)$
\item Relação Composta $g\circ f$ de $f$ com $g$ (veremos que também é Função)
\item Relação Inversa $f^{-1}$ de $f$ (veremos que nem sempre é Função)
\item Restrição de uma Relação a subconjuntos do Domínio e da Imagem
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{FUNÇÕES - Domínio, Imagem e ContraDomínio}

\begin{block}{Domínio e Imagem}
\begin{itemize}
\item $Dom(f)\ =\ \{a\ :\ \exists b,\ f(a)=b\}$
\item $Img(f)\ \ =\ \{b\ :\ \exists a,\ f(a)=b\}$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Notação $f:A\to B$ e ContraDomínio}
Escrevemos \cor{$f:A\to B$} quando \cor{$Dom(f)=A$}\ \ e\ \ \cor{$Img(f)\subseteq B$}.\\
Nessa notação, dizemos que $B$ é o \textbf{ContraDomínio} de $f$.\\
\cor{ContraDomínio} \alert{só faz sentido} na notação $f:A\to B$.
\end{block}

\begin{block}{Relação Inversa de uma função $f$}
\begin{itemize}
\item $f^{-1}\ =\ \Big\{\ (f(x),x)\ :\ x\in Dom(f)\ \Big\}$
\end{itemize}
\end{block}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{FUNÇÕES - Inversa - Exercício 8.2}

\begin{block}{Exercício 8.2}
$f:\RR\to\RR$. Determine se a inversa é uma função.
(a) $f(x) = x^3$. (b) $f(x)=e^x$. (c) $f(x)=sen(x)$.
(d) $f(x) = x^5 + x$. (e) $f(x) = x^5 − x$.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
(a) $f^{-1}(x)\ =\ x^{1/3}$. SIM é função.\\
(b) $f^{-1}(x)\ =\ \ell n(x)$. SIM é função.\\
(c) $f^{-1}(x)\ =\ arcsen(x)$. NÃO é função, pois $f(2\pi)=f(0)=0$\\
(d) $f^{-1}(x)$ SIM é função, pois $f'(x)=5x^4+1>0\ \Tto\ f$ é estritamente crescente.\\
(e) $f^{-1}(x)$ NÃO é função, pois $f(0)=f(1)=0$\\
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{FUNÇÕES - Imagem e Imagem Reversa de conjunto}

\begin{block}{$f(A)\ =\ \{f(x):\ x\in A\cap Dom(f)\}$}
\begin{itemize}
\item $x\in A\ \tto\ f(x)\in f(A)$
\item $f(x)\in f(A)\ \cnot{\tto}\ x\in A$\ \ \ (contraexemplo: $f(x)=7, \forall x\in\ZZ$)
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{$f^{-1}(U)\ =\ \{x\in Dom(f):\ f(x)\in U\}$}
\begin{itemize}
\item $f(x)\in U\ \cor{\Iff}\ x\in f^{-1}(U)$
\item $f(f^{-1}(U)) = \{f(x): x\in f^{-1}(U)\} = \{f(x): f(x)\in U\} = U\cap Img(f)$
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Conclusões para $U\subseteq Img(f)$:}
\begin{itemize}
\item $f(x)\in U\ \cor{\Iff}\ x\in f^{-1}(U)$
\item $x\in A\ \cor{\Tto}\ f(x)\in f(A)\ \cor{\Iff}\ x\in f^{-1}(f(A))$
\item $f(x)\in U\ \cor{\Iff}\ x\in f^{-1}(U)\ \cor{\Iff}\ f(x)\in f(f^{-1}(U))$
\item \alert{Conclusões:} \cor{$f^{-1}(f(A))\supseteq A$}\ \ \ e\ \ \ \cor{$f(f^{-1}(U))=U$}
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{FUNÇÕES - Inversa - Exercício 8.3}

%\begin{block}{Exercício 8.3}
Dada uma função $f$, subconjuntos $A,B\subseteq Dom(f)$ e $U,V\subseteq Img(f)$,
prove ou disprove:\esp{29}
\cor{(a)} $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$.\\
\cor{(b)} $f(A-B)=f(A)-f(B)$.\esp{12}
\cor{(c)} $B\subseteq A\ \Iff\ f(B)\subseteq f(A)$.\\
\cor{(d)} $f^{-1}(U\cap V)=f^{−1}(U)\cap f^{−1}(V)$.\\
\cor{(e)} $f^{−1}(U\cup V)=f^{−1}(U)\cup f^{−1}(V)$.%\\
%\cor{(f)} $f^{−1}(U-V)=f^{ −1}(U)-f^{−1}(V)$.\\
%\cor{(g)} $U\subseteq V\ \Iff\ f^{−1}(U)\subseteq f^{−1}(V)$.\\
%\cor{(h)} $f^{−1}(f(A)) = A$.\esp{28}
%\cor{(i)} $f(f^{−1}(U)) = U$.
%\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\corB{(a) SIM:} $y\in f(A\cup B)\Iff \exists x\in A\cup B: f(x)=y\ \Iff$\\ $\Iff y\in f(A)\ \Or\ y\in f(B)\ \Iff y\in f(A)\cup f(B)$\\
\alert{(b) NÃO.} ContraEx: $f(1)$=$f(2)$=$3$. $A$=$\{1\}$, $B$=$\{2\}$, $f(A)$=$f(B)$=$\{3\}$.\\
\corB{(c) SIM p/ ida ($\tto$):} $B\subseteq A\ \Tto\ (\forall x: x\in B\to x\in A)\ \Tto$\\
$\Tto (\forall x: f(x)\in f(B)\to f(x)\in f(A))\ \Tto\ f(B)\subseteq f(A)$.\\
\alert{(c) NÃO p/ volta ($\Leftarrow$):} ContraEx: $f(x)=0, \forall x\in\ZZ$, $A$=$\ZZ^-$, $B$=$\ZZ^+$.\\
\corB{(d) SIM.} $x\in f^{-1}(U\cap V)\iff f(x)\in U\cap V\iff f(x)\in U\ \cor{\And}\ f(x)\in V\iff$\\ $\iff x\in f^{-1}(U)\ \cor{\And}\ x\in f^{-1}(V)\Iff x\in f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)$.\\
\corB{(e) SIM.} $x\in f^{-1}(U\cup V)\iff f(x)\in U\cup V\iff f(x)\in U\ \cor{\Or}\ f(x)\in V\iff$\\ $\iff x\in f^{-1}(U)\ \cor{\Or}\ x\in f^{-1}(V)\Iff x\in f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$.
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{FUNÇÕES - Inversa - Exercício 8.3}

%\begin{block}{Exercício 8.3}
Dada uma função $f$, subconjuntos $A,B\subseteq Dom(f)$ e $U,V\subseteq Img(f)$,
prove ou disprove:\esp{15}\cor{(f)} $f^{−1}(U-V)=f^{ −1}(U)-f^{−1}(V)$.\\
\cor{(g)} $U\subseteq V\ \Iff\ f^{−1}(U)\subseteq f^{−1}(V)$.\\
\cor{(h)} $f^{−1}(f(A)) = A$.\esp{15}
\cor{(i)} $f(f^{−1}(U)) = U$.
%\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\corB{(f) SIM.} $x\in f^{-1}(U-V)\iff f(x)\in U-V\iff f(x)\in U\ \cor{\And}\ f(x)\not\in V\iff$\\ $\Iff x\in f^{-1}(U)\ \cor{\And}\ x\not\in f^{-1}(V)\Iff x\in f^{-1}(U)-f^{-1}(V)$.\\
\corB{(g) SIM:}\ \ \ $U\subseteq V\ \Iff\ (\forall y: y\in U\to y\in V)\ \iff$\\
$\iff(\forall x: f(x)\in U\to f(x)\in V) \iff (\forall x: x\in f^{-1}(U)\to x\in f^{-1}(V))\iff$\\
$\iff f^{-1}(U)\subseteq f^{-1}(V)$\\
\alert{(h) NÃO:} ContraEx: $f(x)$=$7, \forall x\in\ZZ$. $A$=$\{0\}$, $f(A)$=$\{7\}$, $f^{-1}(\{7\})$=$\ZZ$.\\
\cor{(h) $f^{−1}(f(A)) \supseteq A$}. Já visto.\\
\corB{(i) SIM:} Já visto.
\end{block}
}

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%\frame{
%\frametitle{FUNÇÕES - $f(A)$ e $f^{-1}(U)$}
%\begin{figure}[ht]
%\centering
%\begin{tikzpicture}[scale=1]
%\draw (0,0) ellipse (0.9cm and 1.5cm);
%\draw (0,0.5) ellipse (0.3cm and 0.4cm);
%\draw (0,-0.5) ellipse (0.3cm and 0.4cm);
%
%\draw (3,0) ellipse (0.9cm and 1.5cm);
%\draw (3,0.5) ellipse (0.3cm and 0.4cm);
%\draw (3,-0.5) ellipse (0.3cm and 0.4cm);
%\end{tikzpicture}
%\end{figure}
%}

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\frame{
\frametitle{FUNÇÕES - Composição de funções}

Funções $f$ e $g$ tais que $Im(f)\subseteq Dom(g)$.

\begin{block}{$g\circ f$: relação composta de $f$ com $g$ é função}
\begin{itemize}
\item $(x,z)\in g\circ f\ \cor{\Tto}\ \exists y: (x,y)\in f\And(y,z)\in g\ \cor{\Tto}$
\item $\cor{\Tto}\ y=f(x)\And z=g(y)\ \cor{\Tto}\ z=g(f(x))$
\item $g\circ f(x)\ =\ g(f(x))$ é apenas um valor: $g\circ f$ é função.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{composta.jpg}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item $Dom(g\circ f)\ =\ Dom(f)$.
\item $Im(g\circ f)\subseteq Im(g)$.
\item Se $f:A\to B$ e $g:B\to C$, então $g\circ f:A\to C$.
\end{itemize}
}

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\frame{
\frametitle{FUNÇÕES - Injetora, Sobrejetora, Bijetora}

\begin{block}{$f$ é Injetora}
Uma função $f$ é \cor{Injetora} se e só se:
\begin{itemize}
\item $f(x_1)=f(x_2)\ \Tto\ x_1=x_2$ para todo $x_1,x_2\in Dom(f)$; ou seja,
\item $\forall y\in Im(f):\exists! x\in Dom(f), f(x)=y$; ou seja,
\item Para todo elemento $y$ da Imagem de $f$, existe exatamente um elemento $x$ do Domínio de $f$ tal que $f(x)=y$; ou seja,
\item $x_1\ne x_2\ \Tto\ f(x_1)\ne f(x_2)$ para todo $x_1,x_2\in Dom(f)$.
\end{itemize}
\end{block}

\vspace{0.5cm}

\begin{block}{$f:A\to B$ é Sobrejetora}
Uma função $f:A\to B$ é \cor{Sobrejetora} se e só se $Im(f)=B$.
Ou seja, $\forall y\in B: \exists x\in A, f(x)=y$.
\end{block}

\vspace{0.5cm}

\begin{block}{$f:A\to B$ é Bijetora}
Uma função $f:A\to B$ é \cor{Bijetora} se é injetora e sobrejetora.
\end{block}
}

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\frame{
\frametitle{FUNÇÕES - Tipos de Funções - Exercício 8.6/8.10}

\begin{block}{Exercício 8.6/8.10}
Sejam $f:A\to B$ e $g:B\to C$. Prove que se $f$ e $g$ são injetoras então $g\circ f$ é
injetora.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item $g(f(x_1))=g(f(x_2))\TtoB{g.inj} f(x_1)=f(x_2)\TtoB{f.inj} x_1=x_2$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{FUNÇÕES - Tipos de Funções - Exercício 8.7}

\begin{block}{Exercício 8.7}
Prove que uma função $f$ tem função inversa $f^{-1}$ se e só se $f$ é injetora.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item Seja $A=Dom(f)=Img(f^{-1})$ e $B=Im(f)=Dom(f^{-1})$.
\item $f^{-1}$ é função $\IffB{def} \forall b\in B:\exists! a, (b,a)\in f^{-1}\iff$.
\item $\iff \forall b\in B:\exists! a, (a,b)\in f\iff$.
\item $\iff \forall b\in B:\exists! a, f(a)=b\in f\iff f$ é injetora.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{FUNÇÕES - Tipos de Funções - Exercício 8.8}

\begin{block}{Exercício 8.8}
Sejam $f:A\to C$ e $g:B\to D$ duas funções injetoras. Considere a função
$h:A\times B\to C\times D$ tal que $h(a,b)=(f(a),g(b))$. Prove que $h$ é uma função injetora.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item $h(a,b)=h(x,y)\ \cor{\Tto}\ (f(a),g(b))=(f(x),g(y))\ \cor{\Tto}$
\item $\cor{\Tto}\ f(a)=f(x)\And g(b)=g(y)\ \cor{\TtoB{f,g\ inj.}}$
\item $\cor{\TtoB{f,g\ inj.}}\ (a=x)\And(b=y)\cor{\Tto} (a,b)=(x,y)$.
\item Como vale para quaisquer pares $(a,b)$ e $(x,y)$, então $h$ é injetora.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{FUNÇÕES - Tipos de Funções - Exercício 8.9}

%\begin{block}{Exercício 8.3}
Seja $f$ uma função e sejam $A,B\subseteq Dom(f)$. Prove que\\
\textbf{(a)} $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$. Mais ainda, prove que\\
\textbf{(b)} se $f$ é injetora, então $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$. Prove também que\\
\textbf{(c)} se $f$ é injetora, então $f(B)\subseteq f(A)$ se e só se $B\subseteq A$.
%\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item \textbf{(a)} $y\in f(A\cap B)\corB{\Iff}\exists x\in A\cap B: f(x)=y\ \cor{\Tto}$
\item $\cor{\tto}(\exists x\in A: f(x)=y)\And(\exists x'\in B: f(x')=y)\ \corB{\iff} y\in f(A)\cap f(B)$.
\item Contraexemplo p/ =: $f(1)=f(2)=3$, $A=\{1\}$, $B=\{2\}$. $f(A\cap B)=\emptyset$, $f(A)\cap f(B)=\{3\}$.
\item \textbf{(b)} $y\in f(A\cap B)\corB{\Iff}\exists x\in A\cap B: f(x)=y\ \corB{\Iff}$
\item $\corB{\iff}(\exists x\in A: f(x)=y)\And(\exists x'\in B: f(x')=y)\ \corB{\iff} y\in f(A)\cap f(B)$.
\item \textbf{(c)} $B\subseteq A\ \corB{\Iff}\ (\forall x: x\in B\to x\in A)\ \corB{\IffB{f\ inj.}}$
\item $\corB{\IffB{f\ inj.}} (\forall x: f(x)\in f(B)\to f(x)\in f(A))\ \corB{\Iff}\ f(B)\subseteq f(A)$.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{FUNÇÕES - Tipos de Funções - Exercício 8.11}

\begin{block}{Exercício 8.11}
Seja $R$ uma relação de $A$ para $B$. Escreva expressões lógicas formais (sem palavras,
apenas variáveis e símbolos), com todos os quantificadores necessários, que expresse as afirmações: (a) ``A relação $R$ é transitiva''. (b) ``A relação $R$ é uma função injetora''.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item (a) $\forall x,y,z:\ ((x,y)\in R\ \And\ (y,z)\in R)\ \longrightarrow\ (x,z)\in R$
\item (a) $\forall x,y,z:\ (xRy\ \And\ yRz)\ \longrightarrow\ xRz$
\item (b) $\forall x_1,x_2,y_1,y_2:\ ((x_1Ry_1\And x_1Ry_2)\ \longrightarrow y_1=y_2)\ \And$\item \esp{25}$\And\ ((x_1Ry_1\And x_2Ry_1)\ \longrightarrow x_1=x_2)$
\end{itemize}
\end{block}
}


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\frame{
\frametitle{}

\begin{block}{FUNÇÕES - Exercício Lista 2}
Para $n\geq 3$, considere $n$ funções $f_1,\ldots,f_n$ tais que $Img(f_k)\subseteq Dom(f_{k+1})$ para $k\in\{1,\ldots,n-1\}$. Prove por indução que:
\[
f_n\circ(f_{n-1}\circ(\ldots\circ(f_3\circ(f_2\circ f_1))\ldots))\ \ =\ \ ((\ldots((f_n\circ f_{n-1})\circ f_{n-2})\circ\ldots)\circ f_2)\circ f_1.
\]
\end{block}

\begin{block}{Solução: Indução forte}
\begin{itemize}
\item \alert{Caso base (n=3):} Queremos provar que $f_3\circ(f_2\circ f_1)=(f_3\circ f_2)\circ f_1$.
\item Seja $x\in Dom(f_1)$ e sejam $y=f_1(x)$, $z=f_2(y)$ e $w=f_3(z)$.
\item $f_3\circ (f_2\circ f_1)(x)=f_3(f_2\circ f_1(x)))=f_3(f_2(f_1(x)))=f_3(f_2(y)=f_3(z)=w$.
\item $((f_3\circ f_2)\circ f_1)(x)=(f_3\circ f_2)(f_1(x))=(f_3\circ f_2)(y)=f_3(f_2(y))=w$.
\item \alert{Hipótese da Indução:} Fixe $n>3$ e suponha valer para qualquer número $<n$ de funções
\item \alert{Passo da indução: Vamos provar que vale para $n$ funções.} 
\end{itemize}
\end{block}
}

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\frame{
\frametitle{}

\begin{block}{Solução: Indução forte}
\begin{itemize}
\item \alert{Passo da indução: Vamos provar que vale para $n$ funções.} 
\end{itemize}
\[
f_n\ \ \ \circ\ \ \ \cor{(f_{n-1}\circ(f_{n-2}\circ(\ldots\circ(f_2\circ f_1)\ldots))}\ = \corB{(H.I.\ p/\ n-1)}
\]
\[
=\ f_n\ \ \alert{\circ}\ \ \cor{(\ \ ((\ldots((f_{n-1}\circ f_{n-2})\circ f_{n-3})\circ\ldots)\circ f_2)\ \ \alert{\circ}\ \  f_1)}\ = \corB{C.B.}
\]
\[
=\ \cor{(f_n\circ((\ldots((f_{n-1}\circ f_{n-2})\circ f_{n-3})\circ\ldots)\circ f_2))}\ \ \ \circ\ \ \ f_1\ = \corB{(H.I.\ p/\ n-2)}
\]
\[
=\ (f_n\circ\alert{(f_{n-1}\circ(f_{n-2}\circ(f_{n-3}\circ(\ldots\circ(f_3\circ f_2)\ldots))}\ \ \circ\ \ f_1\ = \corB{(H.I.\ p/\ n-1)}
\]
\[
=\ \cor{((\ldots((f_n\circ f_{n-1})\circ f_{n-2})\circ\ldots)\circ f_2)}\ \ \circ\ \ f_1.
\]
\end{block}
}




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\frame{\centering
\huge{\alert{Capítulo 9\\SOMATÓRIOS}}
}
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\frame{
\frametitle{Somatórios - Capítulo 9}

\begin{block}{Definição para função $f:\NN\to\RR$}
\[
  \cor{\sum_{k=m}^n f(k)}\ =\ f(m)\ \cor{+}\ f(m+1)\ \cor{+}\ f(m+2)\ \cor{+}\ \ldots\ \cor{+}\ f(n-2)\ \cor{+}\ f(n-1)\ \cor{+}\ f(n)
\]
Se $n<m$, então $\sum_{k=m}^n f(k)=0$.\\
Outro modo de escrever (em forma de \cor{sequência} $x_n$, ao invés de função $f(n)$):
\[
  \cor{\sum_{k=m}^n x_k}\ =\ x_m\ \cor{+}\ x_{m+1}\ \cor{+}\ x_{m+2}\ \cor{+}\ \ldots\ \cor{+}\ x_{n-2}\ \cor{+}\ x_{n-1}\ \cor{+}\ x_n
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Somatórios - Exemplo (Soma de Gauss)}

\begin{block}{Soma dos $n$ primeiros inteiros}
\[
  \cor{\sum_{k=1}^n k}\ =\ 1\ \cor{+}\ 2\ \cor{+}\ 3\ \cor{+}\ \ldots\ \cor{+}\ (n-2)\ \cor{+}\ (n-1)\ \cor{+}\ n
\]
\[
  \cor{\sum_{k=1}^n k}\ =\ n\ \cor{+}\ (n-1)\ \cor{+}\ (n-2)\ \cor{+}\ \ldots\ \cor{+}\ 3\ \cor{+}\ 2\ \cor{+}\ 1
\]
\end{block}

\begin{block}{Somando:}
\[
  2\cdot\cor{\sum_{k=1}^n k}\ =\ n\cdot(n+1)
\]
\[
  \TtoB{\div 2}\ \cor{\sum_{k=1}^n k}\ =\ \frac{n\cdot(n+1)}{2}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Somatórios - Soma de P.A. Ex. 9.1 Livro}

\begin{block}{Ex. 9.1 Livro\ /\ Soma P.A.: \textbf{Calcule}}
\[
  \cor{\sum_{k=0}^{n-1} x_k},
\]
para a a P.A. $x_k=a+r\cdot k$.
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\[
  \cor{\sum_{k=0}^{n-1} x_k}\ =\ \cor{\sum_{k=0}^{n-1} (a+r\cdot k)}\ =\ \cor{\sum_{k=0}^{n-1} a\ +\ r\cdot \sum_{k=0}^{n-1}k}
\]
\[
  \cor{\sum_{k=1}^n (a+r\cdot k)}\ =\ a\cdot n\ +\ r\cdot \frac{n(n-1)}{2}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Somatórios - Soma Telescópica}

\begin{block}{Soma Telescópica}
\[
  \cor{\sum_{k=1}^n (x_{k+1}\mbox{-}x_k)} = (x_{n+1}\mbox{-}x_n)\cor{+}(x_n\mbox{-}x_{n\mbox{-}1})\cor{+}(x_{n\mbox{-}1}\mbox{-}x_{n\mbox{-}2})\cor{+}\ldots\cor{+}(x_3\mbox{-}x_2)\cor{+}(x_2\mbox{-}x_1)
\]
\[
  \cor{\sum_{k=1}^n (x_{k+1}\mbox{-}x_k)} = (x_{n+1}\mbox{-}\cnot{x_n})\cor{+}(\cnot{x_n}\mbox{-}\cnot{x_{n\mbox{-}1}})\cor{+}(\cnot{x_{n\mbox{-}1}}\mbox{-}\cnot{x_{n\mbox{-}2}})\cor{+}\ldots\cor{+}(\cnot{x_3}\mbox{-}\cnot{x_2})\cor{+}(\cnot{x_2}\mbox{-}x_1)
\]
\[
  \cor{\sum_{k=1}^n (x_{k+1}-x_k)}\ =\ x_{n+1}\ -\ x_1
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Somatórios - Exercício 9.2 do Livro}

\begin{block}{Ex. 9.2 Livro\ /\ Soma P.G.: \textbf{Calcule} para $b\ne 0$ e $b\ne 1$}
\[
  \cor{\sum_{k=0}^{n-1} b^k}\ =\ 1+b+b^2+b^3+\ldots+b^{n-1}
\]
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\[
  \cor{\sum_{k=0}^{n-1} b^k}\ =\ \cor{\sum_{k=0}^{n-1} \frac{b^k\cdot(b-1)}{b-1}}\ =\ \cor{\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b^{k+1}}{b-1}-\frac{b^k}{b-1}\right)}
\]
Soma Telescópica p/ $x_k\ =\ b^k/(b-1)$:
\[
  \cor{\sum_{k=0}^{n-1} b^k}\ =\ x_n-x_0\ =\ \alert{\frac{b^n-1}{b-1}}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Somatórios - Exercício 9.3 do Livro}

\begin{block}{Ex. 9.3 Livro\ /\ Soma P.G.: \textbf{Calcule} para $q\ne 0$ e $q\ne 1$}
\[
  \cor{\sum_{k=0}^{n-1} a\cdot q^k}\ =\ a+aq+aq^2+aq^3+\ldots+aq^{n-1}
\]
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\[
  \cor{\sum_{k=0}^{n-1} aq^k}\ =\ a\cdot\cor{\sum_{k=0}^{n-1} q^k}\ =\ \alert{\frac{a\cdot(q^n-1)}{q-1}}
\]
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Somatórios - Exercício 9.4 do Livro}

\begin{block}{Ex. 9.4 Livro\ /\ Q.14(a) Lista 1: \textbf{Calcule}}
\[
  \cor{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}}
\]
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\[
  \cor{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}}\ \ \ \ \ \ =\ \ \ \ \ \ \cor{\sum_{k=1}^n \left(-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k}\right)}
\]
Soma Telescópica p/ $x_k\ =\ -1/k$:
\[
  \cor{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}}\ =\ x_{n+1}-x_1\ =\ \frac{-1}{n+1}-\frac{-1}{1}\ =\ \alert{\frac{n}{n+1}}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Somatórios - Exercício 9.4* do Livro}

\begin{block}{Ex. 9.4* Livro\ /\ Q.14(a)* Lista 1: \textbf{Calcule}}
\[
  \cor{\sum_{k=m}^n \frac{1}{k(k+1)}}
\]
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\[
  \cor{\sum_{k=m}^n \frac{1}{k(k+1)}}\ \ \ \ \ \ =\ \ \ \ \ \ \cor{\sum_{k=m}^n \left(-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k}\right)}
\]
Soma Telescópica p/ $x_k\ =\ -1/k$:
\[
  \cor{\sum_{k=m}^n \frac{1}{k(k+1)}}\ =\ x_{n+1}-x_m\ =\ \frac{-1}{n+1}-\frac{-1}{m}\ =\ \alert{\frac{1}{m}-\frac{1}{n+1}}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Somatórios - Exercício 9.7 do Livro}

\begin{block}{Ex. 9.7 Livro: \textbf{Calcule} para $a\ne b$}
\[
  \cor{\sum_{k=0}^{n} a^kb^{n-k}}\ =\ a^0b^n+a^1b^{n-1}+a^2b^{n-2}+a^3b^{n-3}+\ldots+a^{n-1}b^1+a^nb^0
\]
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\[
  \cor{\sum_{k=0}^{n} a^kb^{n-k}}\ =\ b^n\cdot\left(\left(\frac{a}{b}\right)^0+\left(\frac{a}{b}\right)^1+\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{a}{b}\right)^3+\ldots+\left(\frac{a}{b}\right)^n\right)
\]
\[
  \cor{\sum_{k=0}^{n} a^kb^{n-k}}\ =\ b^n\cdot\cor{\sum_{k=0}^{n}a^kb^{-k}}\ =\ b^n\cdot\cor{\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{a}{b}\right)^k}\ =\ b^n\cdot\frac{(a/b)^{n+1}-1}{(a/b)-1}
\]
\[
  =\ \frac{b^{n+1}}{a-b}\cdot\left(\frac{a^{n+1}}{b^{n+1}}-1\right)\ =\ \frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}
\]
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Somatórios - soma dos quadrados perfeitos}

\begin{block}{Exemplo 9.4 Livro / Q13(b) Lista 1:}
\textbf{Calcule} a soma dos $n$ primeiros quadrados perfeitos\\
$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\ldots+(n-1)^2+n^2$
\end{block}

\begin{block}{Solução: $(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1$}
\[
  \cor{\sum_{k=1}^{n} ((k+1)^3-k^3)}\ =\ (n+1)^3-1^3\ =\ \cor{\sum_{k=0}^{n} (3k^2+3k+1)}\ =
\]
\[
=\ 3\alert{\sum_{k=1}^{n}k^2}\ +\ 3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1\ =\ 3X+\frac{3n(n+1)}{2}+n.
\]
\[
3X\ =\ (n\mbox{+}1)^3\cor{\mbox{-}1}-\frac{3n(n\mbox{+}1)}{2}\cor{-n}\ =\ \frac{n\mbox{+}1}{2}(2(n\mbox{+}1)^2\mbox{-}3n\mbox{-}2)\ =\ \frac{n\mbox{+}1}{2}(2n^2\mbox{+}n)
\]
\[
X\ =\ \sum_{k=1}^{n} k^2\ =\ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Somatórios - soma dos cubos perfeitos}

\begin{block}{Exemplo Q13(c) Lista 1:}
\textbf{Calcule} a soma dos $n$ primeiros cubos perfeitos\\
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+\ldots+(n-1)^3+n^3$
\end{block}

\begin{block}{Solução: $(k+1)^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1$}
\[
  \cor{\sum_{k=1}^{n} ((k+1)^4-k^4)}\ =\ (n+1)^4-1^4\ =\ \cor{\sum_{k=1}^{n} (4k^3+6k^2+4k+1)}\ =
\]
\[
=\ 4\alert{\sum_{k=1}^{n}k^3}\mbox{+}6\sum_{k=1}^{n}k^2\mbox{+}4\sum_{k=1}^{n}k\mbox{+}\sum_{k=1}^{n}1\ =\ 4X\mbox{+}\frac{6n(n\mbox{+}1)(2n\mbox{+}1)}{6}\mbox{+}\frac{4n(n\mbox{+}1)}{2}\mbox{+}n.
\]
\[
4X = (n\mbox{+}1)^4\cor{-1}-n(n\mbox{+}1)(2n\mbox{+}1)\mbox{-}2n(n\mbox{+}1)\cor{\mbox{-}n}\ =\ \corB{(n\mbox{+}1)}\Big[(n\mbox{+}1)^3\mbox{-}n(2n\mbox{+}1)\mbox{-}2n\mbox{-}1)\Big]
\]
\[
X\ =\ \sum_{k=1}^{n} k^3\ =\ \frac{\corB{(n\mbox{+}1)^2}}{4}\Big[(n\mbox{+}1)^2\mbox{-}(2n\mbox{+}1))\Big]\ =\ \alert{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Somatórios - soma das quartas potências}

\begin{block}{Exemplo Q13(c)$^*$ Lista 1:}
\textbf{Calcule} a soma dos $n$ primeiras quartas potências\\
$1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+\ldots+(n-1)^4+n^4$
\end{block}

\begin{block}{Solução: $(k+1)^5=k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1$}
\[
  \cor{\sum_{k=1}^{n} ((k+1)^5-k^5)}\ =\ (n+1)^5-1^5\ =\ \cor{\sum_{k=1}^{n} (5k^4+10k^3+10k^2+5k+1)}\ =
\]
\[
=\ 5\alert{\sum_{k=1}^{n}k^4}\ +\ 10\sum_{k=1}^{n}k^3\ +\ 10\sum_{k=1}^{n}k^2\ +\ 5\sum_{k=1}^{n}k\ +\ \sum_{k=1}^{n}1.
\]
\[
5X = (n\mbox{+}1)^5-1\ -\ \frac{10n^2(n\mbox{+}1)^2}{4}\ -\ \frac{10n(n\mbox{+}1)(2n\mbox{+}1)}{6}\ -\ \frac{5n(n\mbox{+}1)}{2}\ -\ n.
\]
\[
X\ =\ \sum_{k=1}^{n} k^4\ =\ \alert{\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}}
\]
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Somatórios - soma das quintas potências}

\cor{Exemplo Q13(c)$^{**}$ Lista 1:}\\
\textbf{Calcule} a soma dos $n$ primeiras quintas potências\\
$1^5+2^5+3^5+4^5+5^5+\ldots+(n-1)^5+n^5$

\vspace{0.6cm}
\alert{Solução:} \cor{$(k+1)^6=k^6+6k^5+15k^4+20k^3+15k^2+6k+1$}\\
\[
  \cor{\sum_{k=1}^{n} ((k+1)^6-k^6)} = (n+1)^6-1^6\ =\ \cor{\sum_{k=1}^{n} (6k^5+15k^4+20k^3+15k^2+6k+1)}\ =
\]
\[
=\ 6\alert{\sum_{k=1}^{n}k^5}\ +\ 15\sum_{k=1}^{n}k^4\ +\ 20\sum_{k=1}^{n}k^3\ +\ 15\sum_{k=1}^{n}k^2\ +\ 6\sum_{k=1}^{n}k\ +\ \sum_{k=1}^{n}1.
\]
\[
6X = (n\mbox{+}1)^6-1\ -\ \frac{15n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}\ -\ \frac{20n^2(n\mbox{+}1)^2}{4}
\]
\[
\esp{17}-\ \frac{15n(n\mbox{+}1)(2n\mbox{+}1)}{6}\ \ \ -\ \ \ \frac{6n(n\mbox{+}1)}{2}\ \ \ -\ \ \ n.
\]
\[
X\ =\ \sum_{k=1}^{n} k^5\ =\ \alert{\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}}
\]
}




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\frame{\centering
\huge{\alert{Capítulo 10\\RECORRÊNCIAS}}
}
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\frame{
\frametitle{Sequências Recorrentes - Capítulo 10}

\begin{block}{Sequência $(a_n)_{n\in\NN}$}
Uma sequência $(a_n)_{n\in\NN}$ é definida como uma função $a:\NN\to\RR$, onde $a_n=a(n)$ para todo $n\in\NN$.
\end{block}

\begin{block}{Exemplos: P.A (razão $r$) e P.G (quociente $q$)}
\alert{Progressão Aritmética} (P.A.): \cor{$a_{n}=a_{n-1}+r$},\ \ \ \ para $n\geq 1$.\\
\alert{Progressão Geométrica} (P.G.): \cor{$a_{n}=a_{n-1}\cdot q$},\ \ \ \ para $n\geq 1$.
\end{block}

\begin{block}{Exemplos de P.A. e P.G.}
\cor{P.A.} $(a_n)_{n\in\NN}$ com \alert{razão $r=2$} e primeiro termo \alert{$a_0=0$}.\\
$(a_n)\ =\ (0,2,4,6,8,10,12,\ldots)$\ \ \ \ -\ \ \ \cor{naturais pares}\\
\cor{P.A.} $(a_n)_{n\in\NN}$ com \alert{razão $r=2$} e primeiro termo \alert{$a_0=1$}.\\
$(a_n)\ =\ (1,3,5,7,9,11,13,\ldots)$\ \ \ \ -\ \ \ \cor{naturais ímpares}\\
\cor{P.G.} $(a_n)_{n\in\NN}$ com \alert{quociente $q=2$} e primeiro termo \alert{$a_0=1$}.\\
$(a_n)\ =\ (1,2,4,8,16,32,64,\ldots)$\ \ \ \ -\ \ \ \cor{potências de 2}\\
\cor{P.G.} $(a_n)_{n\in\NN}$ com \alert{quociente $q=3$} e primeiro termo \alert{$a_0=1$}.\\
$(a_n)\ =\ (1,3,9,27,81,243,279,\ldots)$\ \ \ \ -\ \ \ \cor{potências de 3}\\
\cor{P.A.\ /\ P.G.} $(a_n)_{n\in\NN}$ com \alert{razão $r=0$ / quociente $q=1$}.\\
$(a_n)\ =\ (a_0,a_0,a_0,a_0,a_0,a_0,a_0,\ldots)$\ \ \ \ -\ \ \ \cor{sequência constante}\\
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Sequências Recorrentes - Capítulo 10}

\begin{block}{Sequência $(a_n)_{n\in\NN^*}$}
Uma sequência $(a_n)_{n\in\NN^*}$ é definida como uma função $a:\NN^*\to\RR$, onde $a_n=a(n)$ para todo $n\in\NN^*$.
\end{block}

\begin{block}{Exemplos: P.A (razão $r$) e P.G (quociente $q$)}
\alert{Progressão Aritmética} (P.A.): \cor{$a_{n}=a_{n-1}+r$},\ \ \ \ para $n> 1$.\\
\alert{Progressão Geométrica} (P.G.): \cor{$a_{n}=a_{n-1}\cdot q$},\ \ \ \ para $n> 1$.
\end{block}

\begin{block}{Exemplos de P.A. e P.G.}
\cor{P.A.} $(a_n)_{n\in\NN^*}$ com \alert{razão $r=2$} e primeiro termo \alert{$a_1=0$}.\\
$(a_n)\ =\ (0,2,4,6,8,10,12,\ldots)$\ \ \ \ -\ \ \ \cor{naturais pares}\\
\cor{P.A.} $(a_n)_{n\in\NN^*}$ com \alert{razão $r=2$} e primeiro termo \alert{$a_1=1$}.\\
$(a_n)\ =\ (1,3,5,7,9,11,13,\ldots)$\ \ \ \ -\ \ \ \cor{naturais ímpares}\\
\cor{P.G.} $(a_n)_{n\in\NN^*}$ com \alert{quociente $q=2$} e primeiro termo \alert{$a_1=1$}.\\
$(a_n)\ =\ (1,2,4,8,16,32,64,\ldots)$\ \ \ \ -\ \ \ \cor{potências de 2}\\
\cor{P.G.} $(a_n)_{n\in\NN^*}$ com \alert{quociente $q=3$} e primeiro termo \alert{$a_1=1$}.\\
$(a_n)\ =\ (1,3,9,27,81,243,279,\ldots)$\ \ \ \ -\ \ \ \cor{potências de 3}\\
\cor{P.A.\ /\ P.G.} $(a_n)_{n\in\NN^*}$ com \alert{razão $r=0$ / quociente $q=1$}.\\
$(a_n)\ =\ (a_1,a_1,a_1,a_1,a_1,a_1,a_1,\ldots)$\ \ \ \ -\ \ \ \cor{sequência constante}\\
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Sequências Recorrentes - Capítulo 10}

\begin{block}{Sequência $(a_n)_{n\in\NN}$}
Uma sequência $(a_n)_{n\in\NN}$ é definida como uma função $a:\NN\to\RR$, onde $a_n=a(n)$ para todo $n\in\NN$.
\end{block}

\begin{block}{Exemplos: P.A (razão $r$) e P.G (quociente $q$)}
\alert{Progressão Aritmética} (P.A.): \cor{$a_{n}=a_{n-1}+r$},\ \ \ \ para $n\geq 1$.\\
\alert{Progressão Geométrica} (P.G.): \cor{$a_{n}=a_{n-1}\cdot q$},\ \ \ \ para $n\geq 1$.
\end{block}

\begin{block}{Soma P.A (Exerc. 9.1) e Soma P.G. (Exerc. 9.3)}
P.A. $(a_n)_{n\in\NN}$ com razão $r$ e primeiro termo $a_0$.
\[
  \sum_{k=0}^{n-1} a_k\ =\ a_0\cdot n\ +\ \frac{r\cdot n(n+1)}{2}  
\]
P.G. $(a_n)_{n\in\NN}$ com quociente $q$ e primeiro termo $a_0$.
\[
  \sum_{k=0}^{n-1} a_k\ =\ \frac{a_0\cdot(q^n-1)}{q-1}  
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Sequências Recorrentes - Mais exemplos}

\begin{block}{Sequência de Fibonacci}
$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ para $n\geq 2$ com $F_0=0$ e $F_1=1$.\\
$(F_n)_{n\in\NN}\ =\ (\alert{0,1},\cor{1,2,3,5,8,13,21,34,55,89},\ldots)$
\end{block}

\begin{block}{Somatórios}
Dada uma sequência $(x_n)_{n\in\NN}$, podemos definir\\
uma sequência soma $(S_n)_{n\in\NN^*}$, como $S_1=x_0$ e, para $n\geq 2$,
\[
  S_n\ =\ \sum_{k=0}^{n-1} x_k\ =\ S_{n-1}\ +\ x_{n-1};\ ou
\]
uma sequência soma $(S_n)_{n\in\NN}$, como $S_0=x_0$ e , para $n\geq 1$,
\[
  S_n\ =\ \sum_{k=0}^{n} x_k\ =\ S_{n-1}\ +\ x_{n}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Sequências Recorrentes - Definição}

%\begin{block}{Equação de Recorrência}
Muitas vezes, uma sequência é dada por uma \cor{Equação de Recorrência}, definindo um termo genérico através de termos anteriores da sequência. \corB{\textbf{Exemplos:} PA, PG, Fibonacci, Somatórios, etc...} Em geral, o objetivo é \alert{resolver a recorrência}, ou seja, encontrar uma \alert{\textbf{fórmula fechada}} para a sequência, sem depender de termos da própria sequência.
%\end{block}

\begin{block}{Exemplos:}
\esp{10}\alert{Recorrência}\esp{15}\alert{Fórmula fechada}\\
\cor{\textbf{P.A.:}} $a_{n}=a_{n-1}+r\ \ \Tto\ \ a_{n}\ =\ a_0\ +\ r\cdot n$\\
\cor{\textbf{P.G.:}} $a_{n}=a_{n-1}\cdot q\ \ \Tto\ \ a_{n}\ =\ a_0\cdot q^n$\\
\cor{\textbf{Somatório dos quadrados perfeitos:}} $S_{n}=S_{n-1}+n^2\ \ (S_0=0)\ \Tto$
\[
\alert{\mbox{Fórmula fechada:}}\ \ \ S_n\ =\ \sum_{k=1}^{n} k^2\ =\ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
\cor{\textbf{Fibonacci:}} $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\ \ (F_0=0, F_1=1)\ \Tto$
\[
\alert{\mbox{Fórmula fechada:}}\ \ \ F_n\ =\ \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Sequências Recorrentes - Tipos}

\begin{block}{Recorrência de 1$^o$ ordem}
$a_n$ depende apenas do termo anterior $a_{n-1}$.\ \ \ \ \ \ $a_0$ deve ser dado.\\
\alert{Exemplos:} \cor{P.A., P.G., somatório} dos $n$ primeiros quadrados perfeitos.
\end{block}

\begin{block}{Recorrência de 2$^o$ ordem}
$a_n$ depende apenas dos dois termos anteriores $a_{n-1}$ e $a_{n-2}$.\\
$a_0$ e $a_1$ devem ser dados.\\
\alert{Exemplos:} \cor{Fibonacci $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$},\ \ \ \corB{$a_n=3\cdot a_{n-2}$}.
\end{block}

\begin{block}{Recorrência de k$^o$ ordem}
$a_n$ depende apenas dos $k$ termos anteriores $a_{n-1},\ldots,a_{n-k}$.\\
$a_0,\ldots,a_{k-1}$ devem ser dados. \alert{Exemplo:} $a_n=a_{n-k}+1$.\\
\alert{Exemplo:} $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+\ldots+a_{n-k}$.\\
\alert{Exemplo:} $a_n=a_{n-3}\cdot 10$ com $a_0=1$, $a_1=2$ e $a_2=3$.\\
$\cor{a_n}\ =\ (\cor{1,2,3},\corB{10,20,30},\alert{100,200,300},\ldots)$
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - 10.4.1.Aditiva simples}

\begin{block}{Recorrência de 1$^o$ ordem - aditiva simples}
\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ a_{n-1}\ +\ f(n)$}\\
\textbf{Ex: \cor{P.A.}} é um caso particular quando $f(n)=r$ constante.\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada} para qualquer $0\leq m<n$
\[
  a_n\ =\ a_m\ +\ \sum_{k=m+1}^{n}f(k)
\]
\end{block}

\begin{block}{Prova:}
$a_n\ \cor{=}\ a_{n\mbox{-}1}\mbox{+}f(n)\ \cor{=}\ a_{n\mbox{-}2}\mbox{+}f(n\mbox{-}1)\mbox{+}f(n)\ \cor{=}\ a_{n\mbox{-}3}\mbox{+}f(n\mbox{-}2)\mbox{+}f(n\mbox{-}1)\mbox{+}f(n)\ \cor{=}\ \ldots$\\
$a_n=a_m+f(m+1)+f(m+2)+\ldots+f(n)$.\\
Em geral, esse argumento convence e é suficiente para uma prova rápida.\\
Para ser mais formal, provar por indução.
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - 10.4.1.Aditiva simples}

\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ a_{n-1}\ +\ f(n)$}\\
\textbf{Ex: \cor{P.A.}} é um caso particular quando $f(n)=r$ constante.\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada} para qualquer $0\leq m<n$\\
\esp{35}$a_n\ =\ a_m\ +\ \sum_{k=m+1}^{n}f(k)$

\begin{block}{Exercício 10.3 (P.A.): $a_n=a_{n-1}+r, \forall n\in\NN$. Sabe-se $a_m$}
Se $n>m$: $a_n = a_m + \sum_{k=m+1}^{n}r\ =\ a_m+r\cdot(n-m)$\\
Se $n<m$: $a_m = a_n + \sum_{k=n+1}^{m}r\ =\ a_n+r\cdot(m-n)$\\
\textbf{Solução geral:} \alert{$a_n=a_m+r\cdot(n-m)$}.
\end{block}

\begin{block}{Exemplo (Soma P.A.): $S_n=S_{n-1}+a_n$, com $S_0=a_0$}
$S_n=S_0+\sum_{k=1}^n a_k=a_0+\sum_{k=1}^n (a_0+r\cdot k)$\\
$S_n=a_0+n\cdot a_0+r\cdot\sum_{k=1}^n k\ \Tto\ \alert{S_n=a_0(n+1)+r\cdot n(n+1)/2}$
\end{block}

\begin{block}{Exemplo (Soma P.G.): $S_n=S_{n-1}\ +\ b_0\cdot q^n$, com $S_0=b_0$}
$S_n=S_0+\sum_{k=1}^n b_0\cdot q^k\ =\ b_0+b_0\cdot\sum_{k=1}^n q^k\ =\ b_0\cdot(\sum_{k=0}^n q^k)$\\
$\alert{S_n=b_0\cdot(q^{n+1}-1)/(q-1)}$ (assumindo $q\ne 1$)
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - 10.4.1.Aditiva simples}

\begin{block}{Recorrência de 1$^o$ ordem - aditiva simples}
\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ a_{n-1}\ +\ f(n)$}\\
\textbf{Ex: \cor{P.A.}} é um caso particular quando $f(n)=r$ constante.\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada} para qualquer $0\leq m<n$\\
\esp{35}$a_n\ =\ a_m\ +\ \sum_{k=m+1}^{n}f(k)$
\end{block}

\begin{block}{Exercício 10.4: $a_n=a_{n-1}+\pi^2$ ($n>0$) com $a_0=2$}
$\alert{a_n =} a_0 + \sum_{k=1}^{n}\pi^2\ =\ \alert{2+\pi^2n}$
\end{block}

\begin{block}{Exercício 10.5: $a_n=a_{n-1}+n^2$ ($n>0$) com $a_0=0$}
$\alert{a_n =} a_0 + \sum_{k=1}^{n}k^2\ =\ \alert{n(n+1)(2n+1)/6}$
\end{block}

\begin{block}{Exercício 10.5': $a_n=a_{n-1}+n^3$ ($n>0$) com $a_0=0$}
$\alert{a_n =} a_0 + \sum_{k=1}^{n}k^3\ =\ \alert{n^2(n+1)^2/4}$
\end{block}

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - 10.4.1.Aditiva simples}

\begin{block}{Recorrência de 1$^o$ ordem - aditiva simples}
\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ a_{n-1}\ +\ f(n)$}\\
\textbf{Ex: \cor{P.A.}} é um caso particular quando $f(n)=r$ constante.\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada} para qualquer $0\leq m<n$\\
\esp{35}$a_n\ =\ a_m\ +\ \sum_{k=m+1}^{n}f(k)$
\end{block}

\begin{block}{Exercício 10.6': $a_n=a_{n-1}+2^{n-1}$ ($n>0$) com $a_0=0$}
$\alert{a_n =} a_0 + \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}\ =\ \sum_{i=0}^{n-1}2^i\ =\ \alert{2^n-1}$
\end{block}

\begin{block}{Exercício 10.6: $a_n=a_{n-1}+2^n$ ($n>0$) com $a_1=1$}
$\alert{a_n =} a_1 + \sum_{k=2}^{n}2^k\ =\ 1+\sum_{k=0}^{n}2^k-2^0-2^1\ =\ 1+(2^{n+1}-1)-3=\alert{2^{n+1}-3}$
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Retas no plano}

\begin{block}{Recorrência de 1$^o$ ordem - aditiva simples}
\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ a_{n-1}\ +\ f(n)$}\\
\textbf{Ex: \cor{P.A.}} é um caso particular quando $f(n)=r$ constante.\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada} para qualquer $0\leq m<n$\\
\esp{35}$a_n\ =\ a_m\ +\ \sum_{k=m+1}^{n}f(k)$
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.5]{rec-retas.png}
\end{figure}

\begin{block}{Exemplo 10.7: Número max de regiões no plano com $n$ retas}
\cor{Eq. Recorrência:} $a_n=a_{n-1}+n$ (para $n>0$) com $a_1=2$\\
\cor{Fórmula fechada:} $\alert{a_n =} a_1 + \sum_{k=2}^{n}k\ =\ \alert{1+n(n+1)/2}$
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Retas no plano}

\begin{block}{Recorrência de 1$^o$ ordem - aditiva simples}
\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ a_{n-1}\ +\ f(n)$}\\
\textbf{Ex: \cor{P.A.}} é um caso particular quando $f(n)=r$ constante.\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada} para qualquer $0\leq m<n$\\
\esp{35}$a_n\ =\ a_m\ +\ \sum_{k=m+1}^{n}f(k)$
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.5]{rec-retas2.png}
\end{figure}

\begin{block}{Exemplo 10.7: Número min de regiões no plano com $n$ retas}
\cor{Eq. Recorrência:} $a_n=a_{n-1}+2$ (para $n>1$) com $a_1=2$\\
\cor{Fórmula fechada:} $\alert{a_n =} a_1 + \sum_{k=2}^{n}2\ =\ \alert{2\cdot n}$ (para $n\geq 1$)
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Círculos no plano}

\begin{block}{Recorrência de 1$^o$ ordem - aditiva simples}
\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ a_{n-1}\ +\ f(n)$}\\
\textbf{Ex: \cor{P.A.}} é um caso particular quando $f(n)=r$ constante.\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada} para qualquer $0\leq m<n$\\
\esp{35}$a_n\ =\ a_m\ +\ \sum_{k=m+1}^{n}f(k)$
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{rec-circ.png}
\end{figure}

\begin{block}{Exercício 10.7: Número max regiões plano $n$ círculos}
\textbf{(a)} \cor{Eq. Recorrência:} $a_n=a_{n-1}+2(n-1)$ para $n>1$ com $a_1=2$\\
\textbf{(b)} \cor{Fórmula fechada:} $\alert{a_n =} a_1 + \sum_{k=2}^{n}2(k-1)\ =\ \alert{n^2-n+2}$ ($n\geq 1$)
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Círculos no plano}

\begin{block}{Recorrência de 1$^o$ ordem - aditiva simples}
\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ a_{n-1}\ +\ f(n)$}\\
\textbf{Ex: \cor{P.A.}} é um caso particular quando $f(n)=r$ constante.\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada} para qualquer $0\leq m<n$\\
\esp{35}$a_n\ =\ a_m\ +\ \sum_{k=m+1}^{n}f(k)$
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{rec-circ2.png}
\end{figure}

\begin{block}{Exercício 10.7: Número max regiões plano $n$ círculos}
\textbf{(a)} \cor{Eq. Recorrência:} $a_n=a_{n-1}+2(n-1)$ para $n>1$ com $a_1=2$\\
\textbf{(b)} \cor{Fórmula fechada:} $\alert{a_n =} a_1 + \sum_{k=2}^{n}2(k-1)\ =\ \alert{n^2-n+2}$ ($n\geq 1$)
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Círculos no plano}

\begin{block}{Recorrência de 1$^o$ ordem - aditiva simples}
\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ a_{n-1}\ +\ f(n)$}\\
\textbf{Ex: \cor{P.A.}} é um caso particular quando $f(n)=r$ constante.\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada} para qualquer $0\leq m<n$\\
\esp{35}$a_n\ =\ a_m\ +\ \sum_{k=m+1}^{n}f(k)$
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.25]{rec-circ3.png}
\end{figure}

\begin{block}{Exercício 10.7: Número max regiões plano $n$ círculos}
\textbf{(a)} \cor{Eq. Recorrência:} $a_n=a_{n-1}+2(n-1)$ para $n>1$ com $a_1=2$\\
\textbf{(b)} \cor{Fórmula fechada:} $\alert{a_n =} a_1 + \sum_{k=2}^{n}2(k-1)\ =\ \alert{n^2-n+2}$ ($n\geq 1$)
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Exercício 10.8}

\begin{block}{Recorrência de 1$^o$ ordem - aditiva simples}
\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ a_{n-1}\ +\ f(n)$}\\
\textbf{Ex: \cor{P.A.}} é um caso particular quando $f(n)=r$ constante.\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada} para qualquer $0\leq m<n$\\
\esp{35}$a_n\ =\ a_m\ +\ \sum_{k=m+1}^{n}f(k)$
\end{block}

\begin{block}{Exercício 10.8: Seq. n$^o$ ímpar 0's em $\{0,1,2\}$}
\textbf{(a)} \cor{Eq. Recorrência:} $I_n=2\cdot I_{n-1}+1\cdot P_{n-1}$ ($n>1$) com $I_0=0$\\
$P_n=3^n-I_n\ \ \Tto\ \ \alert{I_n=I_{n-1}+3^{n-1}}$.\\
.\\
\textbf{(b)} \cor{Fórmula fechada:}\\
$\alert{I_n =} I_0 + \sum_{k=1}^{n}3^{k-1}\ =\ \sum_{i=0}^{n-1}3^i\ =\ (3^n-1)/(3-1)\ =\ \alert{(3^n-1)/2}$
\end{block}
}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - 10.4.2. Multiplicativa simples}

\begin{block}{Recorrência de 1$^o$ ordem - multiplicativa simples}
\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ a_{n-1}\ \cdot\ f(n)$}\\
\textbf{Ex: \cor{P.G.}} é um caso particular quando $f(n)=q$ constante.\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada} para qualquer $0\leq m<n$
\[
  a_n\ =\ a_m\ \cdot\ \prod_{k=m+1}^{n}f(k)
\]
\end{block}

\begin{block}{Prova:}
$a_n\ \cor{=}\ a_{n\mbox{-}1}\cdot f(n)\ \cor{=}\ a_{n\mbox{-}2}\cdot f(n\mbox{-}1)\cdot f(n)\ \cor{=}\ a_{n\mbox{-}3}\cdot f(n\mbox{-}2)\cdot f(n\mbox{-}1)\cdot f(n)\ \cor{=}\ \ldots$\\
$a_n=a_m\cdot f(m+1)\cdot f(m+2)\cdot\ldots\cdot f(n)$.\\
Em geral, esse argumento convence e é suficiente para uma prova rápida.\\
Para ser mais formal, provar por indução.
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - 10.4.2. Multiplicativa simples}

\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ a_{n-1}\ \cdot\ f(n)$}\\
\textbf{Ex: \cor{P.G.}} é um caso particular quando $f(n)=q$ constante.\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada} para qualquer $0\leq m<n$\\
\esp{35}$a_n\ =\ a_m\ \cdot\ \prod_{k=m+1}^{n}f(k)$

\begin{block}{Exercício 10.10 (P.G.): $a_n=a_{n-1}\cdot q, \forall n\in\NN$. Sabe-se $a_m$}
Se $n>m$: $a_n = a_m \cdot \prod_{k=m+1}^{n}q\ =\ a_m\cdot q^{n-m}$\\
Se $n<m$: $a_m = a_n \cdot \prod_{k=n+1}^{m}q\ =\ a_n\cdot q^{m-n}$\\
\textbf{Solução geral:} \alert{$a_n=a_m\cdot q^{n-m}$}.
\end{block}

\begin{block}{Exercício 10.11: $a_n=a_{n-1}\cdot 2/n$ com $a_0=1$}
$a_n=a_0\cdot\prod_{k=1}^n (2/k)=2^n/\cor{\prod_{k=1}^n k}\ =\ \alert{2^n/n!}$
\end{block}

\begin{block}{Exercício 10.12: $a_n=a_{n-1}\cdot (n+p)/n$ com $a_0=1$}
$a_n=a_0\cdot\prod_{k=1}^n (k+p)/k=\prod_{k=1+p}^{n+p} k/\prod_{k=1}^{n}k$\\
$a_n=\prod_{k=1}^{n+p} k/\left(\prod_{k=1}^{p}k\cdot\prod_{k=1}^{n}k\right)\ =\ \alert{(n+p)!/(p!n!)}\ =\ \binom{n+p}{p}$\\
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Caso geral com constantes}

\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ s\cdot a_{n-1}\ +\ t$} com $s\ne 1$ e $t$ constantes\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada:}
\[
  \cor{a_n = c_1\cdot s^n + c_2},\ \mbox{onde}\ \corB{c_1=a_0-c_2}\ \mbox{e}\ \corB{c_2=\frac{-t}{s-1}}
\]

\begin{block}{Prova:}
$a_n\ =\ \cor{s\cdot a_{n-1}+t}$\\
$a_n\ =\ s\cdot(s\cdot a_{n-2}+t)+t\ =\ \cor{s^2\cdot a_{n-2}\ +\ t\cdot(1+s)}$\\
$a_n\ =\ s^2\cdot(s\cdot a_{n-3}+t)\ +\ t\cdot(1+s)\ =\ \cor{s^3\cdot a_{n-3}\ +\ t\cdot(1+s+s^2)}$\\
$a_n\ =\ s^3\cdot(s\cdot a_{n-4}+t)\ +\ t\cdot(1+s+s^2)\ =\ \cor{s^4\cdot a_{n-4}\ +\ t\cdot(1+s+s^2+s^3)}$\\
$\ldots$\\
$a_n\ =\ \cor{s^k\cdot a_{n-k}\ +\ t\cdot(1+s+s^2+s^3+\ldots+s^{k-1})}$\\
$\ldots$\\
\alert{$a_n\ =\ s^n\cdot a_0\ +\ t\cdot(1+s+s^2+s^3+\ldots+s^{n-1})$}\\
\corB{$a_n\ =\ s^n\cdot a_0\ +\ t\cdot(s^n-1)/(s-1)$}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Caso geral com constantes}

\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ s\cdot a_{n-1}\ +\ t$} com $s\ne 1$ e $t$ constantes\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada:}
\[
  \cor{a_n = c_1\cdot s^n + c_2},\ \mbox{onde}\ \corB{c_1=a_0-c_2}\ \mbox{e}\ \corB{c_2=\frac{-t}{s-1}}
\]

\begin{block}{Exemplo: $a_n\ =\ s\cdot a_{n-1}\ +\ t$}
$\alert{a_n=c_1\cdot s^n+c_2}\ \ \cor{\tto}\ \ a_0=c_1+c_2\ \ \ \mbox{e}\ \ \ a_1=s\cdot c_1+c_2$\\
$a_1=s\cdot a_0+t\ \ \cor{\tto}\ \ s\cdot c_1+c_2=s\cdot a_0+t\ \cor{\tto}\ (s-1)\cdot c_1=(s-1)a_0+t$\\
$c_1=a_0+t/(s-1)\ \ \cor{\Tto}\ \ c_2=-t/(s-1)$
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Caso geral com constantes}

\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ s\cdot a_{n-1}\ +\ t$} com $s\ne 1$ e $t$ constantes\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada:}
\[
  \cor{a_n = c_1\cdot s^n + c_2},\ \mbox{onde}\ \corB{c_1=a_0-c_2}\ \mbox{e}\ \corB{c_2=\frac{-t}{s-1}}
\]

\begin{block}{Exemplo: $a_n\ =\ 3\cdot (a_{n-1}\ -\ 2)$ com $a_0=4$}
$s=3, t=-6\ \ \Tto\ \ c_2=6/(3-1)=3,\ c_1=4-3=1$\\
\alert{$a_n\ =\ 3^n\ +\ 3$}
\end{block}

\begin{block}{Exemplo: $a_n\ =\ 3\cdot (a_{n-1}\ -\ 2)$ com $a_0=3$}
$s=3, t=-6\ \ \Tto\ \ c_2=6/(3-1)=3,\ c_1=3-3=0$\\
\alert{$a_n\ =\ 0\cdot 3^n\ +\ 3\ \Tto\ a_n\ =\ 3$}
\end{block}

\begin{block}{Exemplo: $a_n\ =\ 3\cdot (a_{n-1}\ -\ 2)$ com $a_0=2$}
$s=3, t=-6\ \ \Tto\ \ c_2=6/(3-1)=3,\ c_1=2-3=-1$\\
\alert{$a_n\ =\ -3^n\ +\ 3$}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Caso geral com constantes}

\alert{\bf Recorrência:} \cor{$a_n\ =\ s\cdot a_{n-1}\ +\ t$} com $s\ne 1$ e $t$ constantes\\
\alert{\bf Solução: Fórmula fechada:}
\[
  \cor{a_n = c_1\cdot s^n + c_2},\ \mbox{onde}\ \corB{c_1=a_0-c_2}\ \mbox{e}\ \corB{c_2=\frac{-t}{s-1}}
\]

\begin{block}{Exemplo: $a_n\ =\ 10\ -\ a_{n-1}$ com $a_0=10$}
$s=-1,\ t=10\ \ \cor{\Tto}\ \ \cor{c_2}=-10/(-1-1)=5,\ \cor{c_1}=10-5=5$\\
\alert{$a_n\ =\ 5\cdot(-1)^n\ +\ 5$}\esp{20}\cor{$a_n\ =\ (10,0,10,0,10,0,\ldots)$}
\end{block}

\begin{block}{Exemplo: $a_n\ =\ 10\ -\ a_{n-1}$ com $a_0=8$}
$s=-1,\ t=10\ \ \cor{\Tto}\ \ \cor{c_2}=-10/(-1-1)=5,\ \cor{c_1}=8-5=3$\\
\alert{$a_n\ =\ 3\cdot(-1)^n\ +\ 5$}\esp{20}\cor{$a_n\ =\ (8,2,8,2,8,2,\ldots)$}
\end{block}

\begin{block}{Exemplo: $a_n\ =\ 10\ -\ a_{n-1}$ com $a_0=2$}
$s=-1,\ t=10\ \ \cor{\Tto}\ \ \cor{c_2}=-10/(-1-1)=5,\ \cor{c_1}=2-5=-3$\\
\alert{$a_n\ =\ (-3)\cdot(-1)^n\ +\ 5$}\esp{20}\cor{$a_n\ =\ (2,8,2,8,2,8,\ldots)$}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Exemplo: Torre de Hanói}

Mover $n$ discos da haste A para a C, usando a B como auxiliar, movendo 1 disco por vez, sem colocar um disco maior sobre um menor.

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=1]{hanoi-2-3.png}
\end{figure}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Exemplo: Torre de Hanói}

Mover $n$ discos da haste A para a C, usando a B como auxiliar, movendo 1 disco por vez, sem colocar um disco maior sobre um menor.

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.7]{hanoi-4.png}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Exemplo: Torre de Hanói}

Mover $n$ discos da haste A para a C, usando a B como auxiliar, movendo 1 disco por vez, sem colocar um disco maior sobre um menor.

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{hanoi-n.png}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $1^o$-ordem - Exemplo: Torre de Hanói}

Mover $n$ discos da haste A para a C, usando a B como auxiliar, movendo 1 disco por vez, sem colocar um disco maior sobre um menor.

\begin{block}{Número de movimentos da Torre de Hanói}
Seja $a_n$ o número de movimentos com $n\geq 0$ discos.\\
$a_n\ =\ 2\cdot a_{n-1}\ +\ 1$ para $n\geq 1$, com $a_0=0$.\\
.\\
\textbf{Solução:}\\
$s=2, t=1\ \ \Tto\ \ c_2=-1/(2-1)=-1,\ c_1=0-(-1)=1$\\
\alert{$a_n\ =\ 2^n\ -\ 1$}\\
.\\
\cor{\textbf{Provar por indução (Q.1, Lista 2):}}\\
\textbf{Caso base:} $n=0\ \Tto\ a_n=0=2^0-1$. \textbf{OK}\\
\textbf{H.I.:} Fixe $n>0$ e suponha valer para menos de $n$ discos.\\
\textbf{P.I.:} Vamos provar que também vale para $n$ discos.\\
$a_n=2\cdot a_{n-1}+1\ \TtoB{H.I.}\ a_n=2\cdot\corB{(2^{n-1}-1)}+1\ =\ 2^n-2+1$\\
\alert{$a_n\ =\ 2^n-1$.} \textbf{cqd}\ $\square$
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $2^o$-ordem}

\begin{block}{Recorrência de 2$^o$ ordem}
$a_n$ depende apenas dos dois termos anteriores $a_{n-1}$ e $a_{n-2}$.\\
$a_0$ e $a_1$ devem ser dados.\\
\alert{Exemplo:} \cor{Fibonacci\ $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \corB{$G_n\ =\ -G_{n-2}$}.\\
\alert{Exemplo:} \cor{Fibonacci' $F'_n=F'_{n-1}+F'_{n-2}+1$},\ \ \ \corB{$G'_n\ =\ -G'_{n-2}\ +\ 1$}.
\end{block}

\begin{block}{Recorrência de 2$^o$ ordem homogênea}
É da forma \alert{$a_n=s_1\cdot a_{n-1}+s_2\cdot a_{n-2}$}.\\
$a_0$ e $a_1$ devem ser dados, e $s_1$ e $s_2$ são constantes.\\
\alert{Exemplos:} $F_n$ e $G_n$ são homogêneas. $F'_n$ e $G'_n$ são não-homogêneas.
\end{block}

\begin{block}{Recorrência de k$^o$ ordem homogênea}
É da forma \alert{$a_n=s_1\cdot a_{n-1}+s_2\cdot a_{n-2}+\ldots+s_k\cdot a_{n-k}$}.\\ $a_0,a_1,\ldots,a_{k-1}$ devem ser dados, e $s_1,s_2,\ldots,s_k$ são constantes.\\
\end{block}

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $2^o$-ordem homogêneas}

É da forma \alert{$a_n=s_1\cdot a_{n-1}+s_2\cdot a_{n-2}$}.\\

\begin{block}{Soluções do tipo $a_n\ =\ r^n$ para $r\ne 0$:}
$a_n=s_1\cdot a_{n-1}+s_2\cdot a_{n-2}\ \ \Tto\ \ r^n=s_1r^{n-1}+s_2r^{n-2}\ \TtoB{\div r^{n-2}}$\\
$\TtoB{\div r^{n-2}}\ r^2=s_1r+s_2\ \tto\ \alert{r^2-s_1r-s_2=0}$ (Eq. 2$^o$-grau: raízes \cor{$r_1$} e \cor{$r_2$})\\
Portanto \cor{$a_n=r_1^n$} e \cor{$a_n=r_2^n$} são soluções (\corB{ignorando} \cor{$a_0$} e \cor{$a_1$})\\
.\\
Se \alert{$a'_n$} e \alert{$a''_n$} são soluções, então \alert{$a_n=c_1a'_n+c_2a''_n$} é solução, pois\\
$\alert{a_n}\ \cor{=}\ c_1a'_n+c_2a''_n\ \cor{=}\ c_1(s_1a'_{n-1}+s_2a'_{n-2})+c_2(s_1a''_{n-1}+s_2a''_{n-2})\ \cor{\Tto}$\\
$\alert{a_n}\ \cor{=}\ s_1(c_1a'_{n-1}+c_2a''_{n-1})+s_2(c_1a'_{n-2}+c_2a''_{n-2})\ \cor{=}\ \alert{s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}}$\\
\end{block}

\begin{block}{Soluções do tipo $a_n\ =\ c_1r_1^n+c_2r_2^n$ para $r_1\ne r_2$:}
$a_0=c_1r_1^0+c_2r_2^0\ \Tto\ c_1+c_2=a_0$\\
$a_1=c_1r_1^1+c_2r_2^1\ \Tto\ r_1c_1+r_2c_2=a_1$\\
Resolver sistema 2 equações e variáveis $c_1$ e $c_2$:\\
\[
  c_1\ =\ \frac{a_1-a_0r_2}{r_1-r_2}\ \ \ \ e\ \ \ \ c_2\ =\ \frac{-a_1+a_0r_1}{r_1-r_2}
\]
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $2^o$-ordem homogêneas}

\textbf{\cor{Teorema:}}
Sejam $r_1$ e $r_2$ as raízes de \cor{$x^2-s_1x-s_2=0$}. Se $r_1\ne r_2$, então toda solução para a recorrência \alert{$a_n=s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}$} é da forma \cor{$a_n=c_1r_1^n+c_2r_2^n$}. Ademais,
\[
  c_1\ =\ \frac{a_1-a_0r_2}{r_1-r_2}\ \ \ \ e\ \ \ \ c_2\ =\ \frac{-a_1+a_0r_1}{r_1-r_2}
\]

\begin{block}{Exerc.13(c)L2: $a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}$ com $a_0=1$ e $a_1=3$}
$s_1=5,\ s_2=-6:$ \alert{eq. caract. $x^2-5x+6=0$}\ $\Tto\ $raízes $r_1=3$ e $r_2=2$\\
$\corB{c_1\ =\ }(3-1\cdot 2)/(3-2)\corB{\ =\ 1}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(-3+1\cdot 3)/(3-2)\corB{\ =\ 0}$\\
\cor{$a_n\ =\ 1\cdot 3^n+0\cdot 2^n$} $\ \Tto\ $ \alert{$a_n=3^n$}
\end{block}

\begin{block}{Exerc.13(c')L2: $a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}$ com $a_0=1$ e $a_1=2$}
$\corB{c_1\ =\ }(2-1\cdot 2)/(3-2)\corB{\ =\ 0}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(-2+1\cdot 3)/(3-2)\corB{\ =\ 1}$\\
\cor{$a_n\ =\ 0\cdot 3^n+1\cdot 2^n$} $\ \Tto\ $ \alert{$a_n=2^n$}
\end{block}

\begin{block}{Exerc.13(c'')L2: $a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}$ com $a_0=0$ e $a_1=1$}
$\corB{c_1\ =\ }(1-0\cdot 2)/(3-2)\corB{\ =\ 1}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(-1+0\cdot 3)/(3-2)\corB{\ =\ -1}$\\
\cor{$a_n\ =\ (1)\cdot 3^n+(-1)\cdot 2^n$} $\ \Tto\ $ \alert{$a_n=3^n-2^n$}
\end{block}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $2^o$-ordem homogêneas}

\textbf{\cor{Teorema:}}
Sejam $r_1$ e $r_2$ as raízes de \cor{$x^2-s_1x-s_2=0$}. Se $r_1\ne r_2$, então toda solução para a recorrência \alert{$a_n=s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}$} é da forma \cor{$a_n=c_1r_1^n+c_2r_2^n$}. Ademais,
\[
  c_1\ =\ \frac{a_1-a_0r_2}{r_1-r_2}\ \ \ \ e\ \ \ \ c_2\ =\ \frac{-a_1+a_0r_1}{r_1-r_2}
\]

\begin{block}{Exemplo: $a_n=3a_{n-1}+4a_{n-2}$ com $a_0=3$ e $a_1=2$}
$s_1=3,\ s_2=4:$ \alert{eq. caract. $x^2-3x-4=0$}\ $\Tto\ $raízes $r_1=4$ e $r_2=-1$\\
$\corB{c_1\ =\ }(2-3(-1))/(4-(-1))\corB{\ =\ 1}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(-2+3\cdot 4)/(4-(-1))\corB{\ =\ 2}$\\
\cor{$a_n\ =\ 1\cdot 4^n+2\cdot(-1)^n$} $\ \Tto\ $ \alert{$a_n\ =\ 4^n+2\cdot(-1)^n$}
\end{block}

\begin{block}{Fibonacci: $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ com $F_0=0$ e $F_1=1$}
$s_1=1,\ s_2=1:$ \alert{eq. caract. $x^2-x-1=0$}\ $\Tto\ $raízes $r_1,r_2=(1\pm\sqrt{5})/2$\\
$\corB{c_1\ =\ }(1-0(r_2))/\sqrt{5}\corB{\ =\ 1/\sqrt{5}}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(-1+0\cdot r_1)/\sqrt{5}\corB{\ =\ -1/\sqrt{5}}$\\
\alert{$F_n\ =\ \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $2^o$-ordem homogêneas}

\textbf{\cor{Teorema:}}
Sejam $r_1$ e $r_2$ as raízes de \cor{$x^2-s_1x-s_2=0$}. Se $r_1\ne r_2$, então toda solução para a recorrência \alert{$a_n=s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}$} é da forma \cor{$a_n=c_1r_1^n+c_2r_2^n$}. Ademais,
\[
  c_1\ =\ \frac{a_1-a_0r_2}{r_1-r_2}\ \ \ \ e\ \ \ \ c_2\ =\ \frac{-a_1+a_0r_1}{r_1-r_2}
\]

\begin{block}{Exemplo: $a_n=-a_{n-2}$ com $a_0=4$ e $a_1=6$}
$a_n\ =\ (4,6,-4,-6,\cor{4,6,-4,-6},4,6,-4,-6,\ldots)$\\
$s_1=0,\ s_2=-1:$ \alert{eq. caract. $x^2+1=0$}\ $\tto\ $raízes $r_1=i=\sqrt{\mbox{-}1}$ e $r_2=\mbox{-}i$\\
$\corB{c_1\ =\ }(6-4(-i))/(i-(-i))\corB{\ =\ 2-3i}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(-6+4\cdot i)/2i\corB{\ =\ 2+3i}$\\
\cor{$a_n\ =\ (2-3i)\cdot i^n+(2+3i)\cdot(-i)^n$} $\ \Tto\ $ \alert{$a_n\ =\ 2\cdot i^n(1+(-1)^n)+3\cdot i^{n-1}(1+(-1)^{n-1})$}\\
$n$ par $\ \Tto\ a_n=\pm 4$\ \ \ \ \ \ \ \ $n$ ímpar $\ \Tto\ a_n=\pm 6$\\
.\\
Na verdade, é melhor resolver recorrências desse tipo \alert{$a_n=s_2\cdot a_{n-2}$} como duas P.G.'s separadas nos índices pares e nos índices ímpares, com quociente $q$ e primeiros valores $a_0$ e $a_1$, respectivamente.
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $2^o$-ordem homogêneas (raiz repetida)}

\textbf{\cor{Teorema:}}
Sejam $r_1$ e $r_2$ de forma que a equação \cor{$x^2-s_1x-s_2=0$} tenha apenas uma raiz $r\ne 0$. Então toda solução para a recorrência \alert{$a_n=s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}$} é da forma \cor{$a_n=c_1\cdot r^n+c_2n\cdot r^n$}. Ademais,
\[
  c_1\ =\ a_0\ \ \ \ e\ \ \ \ c_2\ =\ \frac{a_1-a_0r}{r}
\]

\begin{block}{Intuição da Prova:}
$x^2-s_1x-s_2=0$ tem só 1 raiz $\cor{\tto}$ Eq. $(x\mbox{-}r)^2=x^2\mbox{-}2rx\mbox{+}r^2$ $\cor{\tto}$\\
$\cor{\tto}\ s_1=2r$ e $s_2=-r^2\ \Tto$\ usa-se isso p/ mostrar que $n\cdot r^n$ é solução.\\
.\\
$\alert{nr^n = s_1(n-1)r^{n-1}+s_2(n-2)r^{n-2}}\cor{\IffB{\div r^{n-2}}} r^2n=s_1r(n-1)+s_2(n-2)\cor{\IffB{s_1,s_2}}$\\
$\cor{\IffB{s_1,s_2}} r^2n=2r^2(n-1)-r^2(n-2)\cor{\IffB{\div r^2}}n=2(n-1)-(n-2)\ \cor{\iff}\ 0=0$\\
.\\
\alert{Além disso,}\\
$a_0=c_1r^0+c_2\cdot 0\cdot r^0\ \Tto\ c_1=a_0$\\
$a_1=c_1r^1+c_2\cdot 1\cdot r^1\ \Tto\ c_1r+c_2r=a_1\ \Tto\ c_2=(a_1-a_0r)/r$
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $2^o$-ordem homogêneas (raiz repetida)}

\textbf{\cor{Teorema:}}
Sejam $r_1$ e $r_2$ de forma que a equação \cor{$x^2-s_1x-s_2=0$} tenha apenas uma raiz $r\ne 0$. Então toda solução para a recorrência \alert{$a_n=s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}$} é da forma \cor{$a_n=c_1\cdot r^n+c_2n\cdot r^n$}. Ademais,
\[
  c_1\ =\ a_0\ \ \ \ e\ \ \ \ c_2\ =\ \frac{a_1-a_0r}{r}
\]

\begin{block}{Exerc.13(d): $a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2}$ com $a_0=1$ e $a_1=3$}
$s_1=4,\ s_2=-4:$ \alert{eq. caract. $x^2-4x+4=0$}\ $\Tto\ $raíz única $r=2$\\
$\corB{c_1\ =\ }a_0\corB{\ =\ 1}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(3-1\cdot 2)/2\corB{\ =\ 1/2}$\\
\cor{$a_n\ =\ 1\cdot 2^n+(1/2)\cdot n\cdot 2^n$} $\ \Tto\ $ \alert{$a_n\ =\ (2+n)\cdot 2^{n-1}$}
\end{block}

\begin{block}{Exerc.13(d'): $a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2}$ com $a_0=1$ e $a_1=4$}
$\corB{c_1\ =\ }a_0\corB{\ =\ 1}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(4-1\cdot 2)/2\corB{\ =\ 1}$\\
\cor{$a_n\ =\ 1\cdot 2^n+1\cdot n\cdot 2^n$} $\ \Tto\ $ \alert{$a_n\ =\ (1+n)\cdot 2^{n}$}
\end{block}

\begin{block}{Exerc.13(d''): $a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2}$ com $a_0=1$ e $a_1=6$}
$\corB{c_1\ =\ }a_0\corB{\ =\ 1}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(6-1\cdot 2)/2\corB{\ =\ 2}$\\
\cor{$a_n\ =\ 1\cdot 2^n+2\cdot n\cdot 2^n$} $\ \Tto\ $ \alert{$a_n\ =\ (1+2n)\cdot 2^{n}$}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $2^o$-ordem homogêneas (raiz repetida)}

\textbf{\cor{Teorema:}}
Sejam $r_1$ e $r_2$ de forma que a equação \cor{$x^2-s_1x-s_2=0$} tenha apenas uma raiz $r\ne 0$. Então toda solução para a recorrência \alert{$a_n=s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}$} é da forma \cor{$a_n=c_1\cdot r^n+c_2n\cdot r^n$}. Ademais,
\[
  c_1\ =\ a_0\ \ \ \ e\ \ \ \ c_2\ =\ \frac{a_1-a_0r}{r}
\]

\begin{block}{Exemplo: $a_n=6a_{n-1}-9a_{n-2}$ com $a_0=2$ e $a_1=9$}
$s_1=6,\ s_2=-9:$ \alert{eq. caract. $x^2-6x+9=0$}\ $\Tto\ $raíz única $r=3$\\
$\corB{c_1\ =\ }a_0\corB{\ =\ 2}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(9-2\cdot 3)/3\corB{\ =\ 1}$\\
\cor{$a_n\ =\ 2\cdot 3^n+1\cdot n\cdot 3^n$} $\ \Tto\ $ \alert{$a_n\ =\ (2+n)\cdot 3^{n}$}
\end{block}

\begin{block}{Exemplo: $a_n=6a_{n-1}-9a_{n-2}$ com $a_0=2$ e $a_1=6$}
$\corB{c_1\ =\ }a_0\corB{\ =\ 2}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(6-2\cdot 3)/3\corB{\ =\ 0}$\\
\cor{$a_n\ =\ 2\cdot 3^n+0\cdot n\cdot 3^n$} $\ \Tto\ $ \alert{$a_n\ =\ 2\cdot 3^{n}$}
\end{block}

\begin{block}{Exemplo: $a_n=6a_{n-1}-9a_{n-2}$ com $a_0=2$ e $a_1=3$}
$\corB{c_1\ =\ }a_0\corB{\ =\ 2}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(3-2\cdot 3)/3\corB{\ =\ -1}$\\
\cor{$a_n\ =\ 2\cdot 3^n+(-1)\cdot n\cdot 3^n$} $\ \Tto\ $ \alert{$a_n\ =\ (2-n)\cdot 3^{n}$}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $2^o$-ordem homogêneas (raiz repetida)}

\textbf{\cor{Teorema:}}
Sejam $r_1$ e $r_2$ de forma que a equação \cor{$x^2-s_1x-s_2=0$} tenha apenas uma raiz $r\ne 0$. Então toda solução para a recorrência \alert{$a_n=s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}$} é da forma \cor{$a_n=c_1\cdot r^n+c_2n\cdot r^n$}. Ademais,
\[
  c_1\ =\ a_0\ \ \ \ e\ \ \ \ c_2\ =\ \frac{a_1-a_0r}{r}
\]

\begin{block}{Exemplo: $a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}$ com $a_0$ e $a_1$}
$s_1=2,\ s_2=-1:$ \alert{eq. caract. $x^2-2x+1=0$}\ $\Tto\ $raíz única $r=1$\\
$\corB{c_1\ =\ a_0}$\ \ e\ \ $\corB{c_2\ =\ }(a_1-a_0\cdot 1)/1\corB{\ =\ (a_1-a_0)}$\\
\cor{$a_n\ =\ a_0\cdot 1^n+(a_1-a_0)\cdot n\cdot 1^n$} $\ \Tto\ $ \alert{$a_n\ =\ (a_1-a_0)n+a_0$}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $2^o$-ordem NÃO-homogêneas}

\begin{block}{Teorema:}
Dada uma recorrência \alert{$a'_n=s_1a'_{n-1}+s_2a'_{n-2}+s_3$}, se $s_1+s_2\ne 1$, então \cor{$a'_n=a_n-b$}, onde $(a_n)_n\in\NN$ é tal que \cor{$a_n=s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}$} e
$b=s_3/(s_1+s_2-1)$.
\end{block}

\begin{block}{Prova:}
$a'_n=a_n-b\ \cor{\iff}\ (a_n-b)=s_1(a_{n-1}-b)+s_2(a_{n-2}-b)+s_3\ \cor{\iff}$\\
$\cor{\iff}\ a_n=s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}+s_3-b(s_1+s_2-1)\ \cor{\iff}\ a_n=s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}$
\end{block}

\begin{block}{Ex: Fibonacci' $F'_n=F'_{n\mbox{-}1}+F'_{n\mbox{-}2}+1$ com $F'_0=\mbox{-}1$ e $F'_1=0$}
\textbf{Intuição:} Observar que \alert{$F'_n=F_n-1$} funciona, pois\\
$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\ \cor{\iff}\ F_n-1=(F_{n-1}-1)+(F_{n-2}-1)+1\ \cor{\iff}$\\
$\cor{\iff}\ F'_n=F'_{n-1}+F'_{n-2}+1$\\
$F'_n\ =\ (   \cor{-1,0,}0,1,2,4,7,12,20,33,54,\ldots)$\\
$F_n\ \ =\ (\ \ \cor{0,1,}1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots)$\\
\alert{$F'_n\ =\ \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]\ \ -\ 1$}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Recorrências de $2^o$-ordem NÃO-homogêneas}

\begin{block}{Teorema:}
Dada uma recorrência \alert{$a'_n=s_1a'_{n-1}+s_2a'_{n-2}+s_3$}, se $s_1+s_2\ne 1$, então \cor{$a'_n=a_n-b$}, onde $(a_n)_n\in\NN$ é tal que \cor{$a_n=s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}$} e
$b=s_3/(s_1+s_2-1)$.
\end{block}

\begin{block}{Exemplo: $a'_n=6a'_{n-1}-9a'_{n-2}+4$ com $a'_0=3$ e $a'_1=7$}
$b=4/(6\mbox{-}9\mbox{-}1)=\mbox{-}1\ \cor{\tto}\ a'_n=a_n\mbox{+}1$ com \cor{$a_n=6a_{n\mbox{-}1}\mbox{-}9a_{n\mbox{-}2}$}, $a_0=2, a_1=6$\\
$\cor{a_n=2\cdot 3^n}\ \Tto\ \alert{a'_n=2\cdot 3^n\ \ +\ \ 1}$
\end{block}

\begin{block}{Exemplo: $a'_n=-a'_{n-2}+4$ com $a'_0=6$ e $a'_1=8$}
$b=4/(0-1-1)=-2\ \cor{\Tto}\ a'_n=a_n+2$ com \cor{$a_n=-a_{n-2}$}, $a_0=4, a_1=6$\\
%\cor{$a_n\ =\ (2-3i)\cdot i^n+(2+3i)\cdot(-i)^n$}\ $\Tto$\ \\
\alert{$a'_n\ =\ (2-3i)\cdot i^n+(2+3i)\cdot(-i)^n\ \ +\ \ 2$}\\
$a'_n\ =\  (\cor{6,8,}-2,-4,6,8,-2,-4,\ldots)$\\
$a_n\ \ =\ (\cor{4,6,}-4,-6,4,6,-4,-6,\ldots)$\\
\end{block}

\begin{block}{CASOS MAIS GERAIS: Funções geradoras}
Técnica das Funções Geradoras: \alert{não será ensinado aqui}.
\end{block}

}

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\frame{
\frametitle{Sequências Recorrentes - RESUMO}

\begin{block}{Recorrências de 1$^o$ ordem: $a_n=a_{n-1}\cdot s(n)\ +\ t(n)$}
\begin{itemize}
\item Aditiva simples ($s(n)=1$):\ \cor{$a_n=a_0+\sum_{k=1}^n t(k)$}
\item Multipl. simples ($t(n)=0$):\ \cor{$a_n=a_0\cdot\prod_{k=1}^n s(k)$}
\item Caso geral com constantes ($s\ne 1$ e $t$):\ \cor{$a_n=c_1\cdot s^n+c_2$}
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Recorrências de 2$^o$ ordem hom: $a_n=s_1a_{n-1}+s_2a_{n-2}$}
\begin{itemize}
\item Equação característica: \alert{$x^2-s_1x-s_2=0$} com raízes $r_1,r_2$
\item Raízes distintas ($r_1\ne r_2$):\ \cor{$a_n=c_1\cdot r_1^n+c_2\cdot r_2^n$}
\item Raízes iguais ($r_1\mbox{=}r_2\mbox{=}r$):\ \  \cor{$a_n=c_1\cdot r^n+c_2\cdot n\cdot r^n$}
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Recorrências de 2$^o$ ordem NÃO-hom: $a'_n=s_1a'_{n-1}+s_2a'_{n-2}+s_3$}
\begin{itemize}
\item Se \alert{$s_1+s_2\ne 1$}, seja $b=s_3/(s_1\mbox{+}s_2\mbox{-}1)$.
\item Rec. hom corr: \cor{$a_n=s_1a_{n\mbox{-}1}\mbox{+}s_2a_{n\mbox{-}2}$} com $a_0=a'_0\mbox{+}b$ e $a_1=a'_1\mbox{+}b$
\item Solução: \cor{$a'_n\ =\ a_n-b$}
\end{itemize}
\end{block}

}



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\frame{\centering
\huge{\alert{Capítulo 11\\COMBINATÓRIA}}
}
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\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Ex 11.1: 3 bolas rotuladas 1 a 3 em caixas numeradas A e B.}
\begin{itemize}
\item $2^3=8$ modos: AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB
\item[(a)] E se bolas idênticas com caixas distintas ?
\item 4 modos: 3-0, 2-1, 1-2, 0-3
\item[(b)] E se bolas distintas com caixas idênticas ?
\item 4 modos: 123-$\emptyset$, 12-3, 13-2, 1-23
\item[(c)] E se bolas idênticas com caixas idênticas ?
\item 2 modos: 3-0, 2-1
\end{itemize}
\end{block}

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Ex 11.10: 20 pessoas em 4 viagens, cada uma com 5 pessoas.}
\[
\binom{20}{5}\cdot\binom{15}{5}\cdot\binom{10}{5}\cdot\binom{5}{5}
\ =\ \frac{20!}{5!\cnot{15!}}\cdot\frac{\cnot{15!}}{5!\cnot{10!}}\cdot\frac{\cnot{10!}}{5!\cnot{5!}}\cdot\frac{\cnot{5!}}{5!0!}
\ =\ \frac{20!}{5!5!5!5!}
\]
Faz uma permutação das 20 pessoas: as 5 primeiras vão na 1$^o$ viagem e assim por diante. Dentro dessa permutação maior, qualquer permutação das posições 1 a 5, ou de 6 a 10, ou de 11 a 15, ou de 16 a 20, gerará a mesma configuração de viagem. Por isso, devemos dividir por $5!$ quatro vezes.
\end{block}

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Exercício 11.13:}
\begin{itemize}
\item Sejam $X$ e $Y$ conjuntos finitos, com $|X| = m$ e $|Y| = n$. Seja $R$ um subconjunto
de $X$ com $r$ elementos, e $S$ um subconjunto de $Y$ com $s$ elementos. Quantas funções $F$ distintas existem de $X$ para $Y$ tais que $F(x)\in S$ para todo $x$ em $R$?
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item Cada elemento de $R$ tem $s$ valores possíveis e cada elemento fora de $R$ tem $n$ valores possíveis. Pelo princípio multiplicativo:
\end{itemize}
\[
  Resposta\ =\ s^r\ \cdot\ n^{m-r}
\]
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Exercício 11.22:}
\begin{itemize}
\item Quantas ``mãos'' diferentes de cinco cartas podem ser obtidas de um baralho de
52 cartas?
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item De 52 cartas diferentes, temos que escolher 5. A ordem não importa:
\end{itemize}
\[
  Resposta\ =\ \binom{52}{5}\ =\ \frac{52!}{5!(52-5)!}\ =\ \frac{52\cdot 51\cdot 50\cdot 49\cdot 48\cdot\cnot{47!}}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \cdot \cnot{47!}}
\]
\[
  \binom{52}{5}\ =\ 52\cdot 51\cdot 5\cdot 49\cdot 4\ =\ 52\cdot 51\cdot 980\ =\ 2.598.960
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Exercício 11.23:}
\begin{itemize}
\item Quantas maneiras há de empilhar 3 laranjas (indistinguíveis) e 2 maçãs (indistinguíveis) dentro um vaso estreito de vidro?
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item Das 5 posições dentro do vaso estreito, temos que escolher 2 para as maçãs. As 3 posições restantes serão das laranjas.
\end{itemize}
\[
  Resposta\ =\ \binom{5}{2}\ =\ \frac{5!}{2!(5-2)!}\ =\ \frac{5\cdot 4\cdot\cnot{3!}}{2\cdot 1\cdot\cnot{3!}}\ =\ \frac{20}{2}\ =\ 10
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Exercício 11.23':}
Quantas maneiras há de empilhar 5 frutas (laranjas ou maçãs indistinguíveis) dentro um vaso estreito de vidro?
\begin{itemize}
\item[(a)] Se o número de maçãs é 0: $\binom{5}{0}\ =\ \frac{5!}{0!5!}\ =\ \cor{1}$
\item[(b)] Se o número de maçãs é 1: $\binom{5}{1}\ =\ \frac{5!}{1!4!}\ =\ \cor{5}$
\item[(c)] Se o número de maçãs é 2: $\binom{5}{2}\ =\ \frac{5!}{2!3!}\ =\ \cor{10}$
\item[(d)] Se o número de maçãs é 3: $\binom{5}{3}\ =\ \frac{5!}{3!2!}\ =\ \cor{10}$
\item[(e)] Se o número de maçãs é 4: $\binom{5}{4}\ =\ \frac{5!}{4!1!}\ =\ \cor{5}$
\item[(f)] Se o número de maçãs é 5: $\binom{5}{5}\ =\ \frac{5!}{5!0!}\ =\ \cor{1}$
\item[(g)] Total = $1+5+10+10+5+1\ =\ \cor{32}\ =\ 2^5\ =\ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Exercício 11.24:}
\begin{itemize}
\item Há $2^n$ sequências distintas de $n$ bits (algarismos 0 e 1). Quantas dessas sequências
tem exatamente $k$ bits iguais a 1?
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item Das $n$ posições na sequência, temos que escolher $k$ para o bit 1. As $n-k$ posições restantes serão do bit 0.
\end{itemize}
\[
  Resposta\ =\ \binom{n}{k}\ =\ \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Exercício 11.24':}
\begin{itemize}
\item Há $3^n$ sequências distintas de $n$ letras A, B ou C. Quantas dessas sequências
tem exatamente $k$ letras iguais a A?
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item Das $n$ posições na sequência, temos que escolher $k$ para a letra A. As $n-k$ posições restantes serão das letras B e C: duas escolhas (B ou C) para cada posição.
Pelo princípio multiplicativo:
\end{itemize}
\[
  Resposta\ =\ \binom{n}{k}\cdot 2^{n-k}\ =\ \frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot 2^{n-k} 
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Exercício 11.24':}
\begin{itemize}
\item Há $5^n$ sequências distintas de $n$ letras A, B, C, D ou E. Quantas dessas sequências tem exatamente $k$ letras iguais a A e $\ell$ letras iguais a B?
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item Das $n$ posições na sequência, temos que escolher $k$ para a letra A. 
Das $n-k$ posições restantes, temos que escolher $\ell$ para a letra B.
As $n-k-\ell$ posições restantes serão das letras C, D e E: três escolhas (C, D ou E) para cada posição.
Pelo princípio multiplicativo:
\end{itemize}
\[
  Resposta\ =\ \binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{\ell}\cdot 3^{n-k-\ell}
\]
\[
  =\ \frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{(n-k)!}{\ell!(n-k-\ell)!}\cdot3^{n-k-\ell}\ =\ \frac{n!\ 3^{n-k-\ell}}{k!\ell!(n-k-\ell)!}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Ex 11.10: 20 pessoas em 4 viagens, cada uma com 5 pessoas.}
\[
\binom{20}{5}\cdot\binom{15}{5}\cdot\binom{10}{5}\cdot\binom{5}{5}
\ =\ \frac{20!}{5!\cnot{15!}}\cdot\frac{\cnot{15!}}{5!\cnot{10!}}\cdot\frac{\cnot{10!}}{5!\cnot{5!}}\cdot\frac{\cnot{5!}}{5!0!}
\ =\ \frac{20!}{5!5!5!5!}
\]
Faz uma permutação das 20 pessoas: as 5 primeiras vão na 1$^o$ viagem e assim por diante. Dentro dessa permutação maior, qualquer permutação das posições 1 a 5, ou de 6 a 10, ou de 11 a 15, ou de 16 a 20, gerará a mesma configuração de viagem. Por isso, devemos dividir por $5!$ quatro vezes.
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Propriedades do Binômio de Newton}
\begin{align*}
\mbox{\bf (a)}\ \ \ \cor{\binom{n}{k}}\ \ &\cor{=\ \binom{n}{n-k}}\ =\ \frac{n!}{k!(n-k)!}\\
\mbox{\bf (b)} \binom{n+1}{k+1} &=\ \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\ =\ \frac{(n+1)\cdot n!}{(k+1)!(n-k)!}\ =\\
&=\ \frac{(k+1\ +\ n-k)\cdot n!}{(k+1)!(n-k)!}\ =\ \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\\
\cor{\binom{n+1}{k+1}} &\cor{=\ \binom{n}{k}\ +\ \binom{n}{k+1}}\ \ \mbox{\alert{Identidade de Pascal ou Relação de Stifel}}
\end{align*}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Propriedades do Binômio de Newton}
\begin{align*}
\mbox{\bf (c)}\ \ (a+b)^n &=\ (a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)\cdot\ldots\cdot(a+b)\\
\mbox{Fazendo a } &\mbox{distributividade, os termos desse produto serão da forma}\\
&a\cdot b\cdot b\cdot\ldots\cdot a\ =\ a^{n-k}\cdot b^k\ \ (\mbox{onde $k$ é o número de $b$'s})\\
\ \ \cor{(a+b)^n}\ \  &\cor{=\ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k}
\end{align*}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{Exercício 11.28:}
\begin{itemize}
\item Seja $X$ um conjunto de $n$ elementos. Usando a fórmula do exercício 11.27, prove
que o número de subcojuntos de $X$ de tamanho par é igual ao número de subconjuntos de tamanho ímpar.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Solução:}
\begin{align*}
\cor{(a+b)^n}\ \  &\cor{=\ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k}.\ \mbox{Tomando $a=1$ e $b=-1$:}\\
\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\ &=\ \binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\binom{n}{3}+\ldots+(-1)^n\binom{n}{n}\\
\binom{n}{0}+\binom{n}{2}&+\binom{n}{4}+\ldots\ =\ \binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\ldots
\end{align*}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 11 - Contagem - Combinatória}

\begin{block}{}
\begin{align*}
\binom{n}{r}\ &=\ \frac{n!}{r!(n-r)!}\ =\ \frac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-r+1)\cnot{(n-r)!}}{r!\cnot{(n-r)!}}\\
\binom{n}{r}\ &=\ \frac{n}{r}\cdot\frac{n-1}{r-1}\cdot\frac{n-2}{r-2}\cdot\ldots\cdot\frac{n-r+1}{1}\\
\cor{\binom{n}{r}}\ &\cor{=\ \prod_{k=1}^r\frac{n-k+1}{k}}
\end{align*}
\end{block}
É mais fácil calcular computacionalmente assim.\\
Em exercícios dessa disciplina, é melhor deixar em formato de binômio mesmo, amenos que os valores sejam pequenos e possam ser calculados à mão, usando a fórmula original:
\begin{align*}
\binom{n}{r}\ &=\ \frac{n!}{r!(n-r)!}
\end{align*}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Exercício 6 da Lista 3}

Se enumerarmos todas as permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 em ordem crescente, então:
\begin{itemize}
\item[\textbf{(a)}] Que posição ocupa o número 42513?
\item[\textbf{(b)}] Qual número ocupa a posição 73?
\end{itemize}

\begin{block}{Solução (a):}
\begin{itemize}
\item Existem $4!$ permutações começando em 1.
\item Existem $4!$ permutações começando em 2.
\item Existem $4!$ permutações começando em 3.
\item Existem $3!$ permutações começando em 41.
\item Existem $2!$ permutações começando em 421.
\item Existem $2!$ permutações começando em 423.
\item Após todas essas, teremos a permutação 42513.
\item Posição = $1\ +\ 3\cdot 4!+3!+2\cdot 2!\ =\ \cor{83}$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Exercício 6 da Lista 3}

Se enumerarmos todas as permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 em ordem crescente, então:
\begin{itemize}
\item[\textbf{(a)}] Que posição ocupa o número 42513?
\item[\textbf{(b)}] Qual número ocupa a posição 73?
\end{itemize}

\begin{block}{Solução (b):}
\begin{itemize}
\item Existem $1\cdot 4!=24$ permutações começando em 1.
\item Existem $2\cdot 4!=48$ permutações começando em 1 ou 2.
\item Existem $3\cdot 4!=72$ permutações começando em 1, 2 ou 3.
\item Posição 73: \cor{Permutação 41235}.
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Exercício 7 da Lista 3}

Quantos são os subconjuntos de $k$ elementos de $\{1,2,\cdots,n\}$ nos quais:
\begin{itemize}
\item[\textbf{(a)}] $1$ aparece?
\item[\textbf{(b)}] $1$ não aparece?
\item[\textbf{(c)}] $1$ e $2$ aparecem?
\item[\textbf{(d')}] $1$ aparece e $2$ não aparece?
\item[\textbf{(e')}] $1$ e $2$ não aparecem?
\end{itemize}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item[(a)] $\binom{n-1}{k-1}$
\item[(b)] $\binom{n-1}{k}$
\item[(c)] $\binom{n-2}{k-2}$
\item[(d')] $\binom{n-2}{k-1}$
\item[(e')] $\binom{n-2}{k}$
\end{itemize}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Exercício 8 da Lista 3}

Considere todos os subconjuntos com 5 elementos de $\{1,2,\cdots,12\}$. Se ordenarmos todos esses subconjuntos por ordem crescente de índices, em quantos subconjuntos o elemento $8$ aparece na posição 3 da sua ordenação?

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item 5 posições com o 8 aparecendo na posição 3.
\item Nas posições 1 e 2, devemos ter números menores que 8. 
\item Nas posições 4 e 5, devemos ter números maiores que 8.
\item Escolher 2 em $\{1,\ldots.7\}$ e escolher 2 em $\{9,\ldots,12\}$.
\end{itemize}
\[
  \binom{7}{2}\cdot 1\cdot \binom{4}{2}\ =\ \frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}\cdot\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}\ =\ 7\cdot 6\cdot 3\ =\ \cor{126}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Exercício 9(a) da Lista 3}

\begin{itemize}
\item Quantas soluções inteiras existem para $x_1+x_2+x_3+x_4=50$ com $x_i\geq 0$?
\end{itemize}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item É equivalente a $x'_1+x'_2+x'_3+x'_4=54$ com $x'_i\geq 1$, fazendo $x'_i=x_i+1$
\item Dividir colocando 3 barras entre os 54 doces.
\end{itemize}
\[
\binom{53}{3}\ =\ \binom{50+4-1}{4-1}\ =\ \binom{50+4-1}{50}
\]
Fórmula geral: $p$ variáveis naturais que somam $n$:
\[
\binom{n+p-1}{p-1}\ =\ \binom{n+p-1}{n}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Exercício 9(a)' da Lista 3}

\begin{itemize}
\item Quantas soluções inteiras existem para $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=50$ com $x_1\geq -2, x_2\geq -1, x_3\geq 0$, $x_4\geq 1$ e $x_5\geq 2$?
\end{itemize}

\begin{block}{Solução:}
\begin{itemize}
\item É equivalente a $x'_1+x'_2+x'_3+x'_4+x'_5=55$ com $x'_i\geq 1$, fazendo $x'_1=x_1+3$, $x'_2=x_2+2$, $x'_3=x_3+1$, $x'_4=x_4$ e $x'_5=x_5-1$, pois.
\item $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=50\ \Tto$
\item $\Tto\ (x'_1-3)+(x'_2-2)+(x'_3-1)+(x'_4)+(x'_5+1)=50\ \Tto$
\item $\Tto\ x'_1+x'_2+x'_3+x'_4+x'_5=55$.
\item Dividir colocando 4 barras entre os 55 doces.
\end{itemize}
\[
\binom{54}{4}\ =\ \binom{50+5-1}{5-1}\ =\ \binom{50+5-1}{50}
\]
Fórmula geral: $p$ variáveis naturais que somam $n$:
\[
\binom{n+p-1}{p-1}\ =\ \binom{n+p-1}{n}
\]
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Exercício 11 da Lista 3}

Determine o coeficiente de $x^3$ no desenvolvimento de
\[
\left( x^2 + \frac{1}{x^3} \right)^{99}
\ \ \ \ \ \ \ \mbox{ e }\ \ \mbox{ de }\ \ \ \ \ \ \ 
\left( x^2 + \frac{1}{x^3} \right)^{100}
\]

\begin{block}{Solução:}
\[
  \cor{(a+b)^n\ \  =\ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k}
\]
\[
  (x^2+x^{-3})^{99}\ =\ \sum_{k=0}^{99}\binom{99}{k}x^{2(99-k)}x^{-3k}\ =\ \sum_{k=0}^{99}\binom{99}{k}x^{2\cdot 99-5k}
\]
$5k=198-3=195\ \tto\ k=39$. \textbf{Coeficiente:} \cor{$\binom{99}{39}=\binom{99}{60}$}

\[
  (x^2+x^{-3})^{100}\ =\ \sum_{k=0}^{100}\binom{100}{k}x^{2(100-k)}x^{-3k}\ =\ \sum_{k=0}^{100}\binom{100}{k}x^{2\cdot 100-5k}
\]
$5k=200-3=197\ \Tto\ k=197/3$. \textbf{Coeficiente:} \alert{0 (não existe $x^3$)}.
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.7 - Permutações e Arranjos Circulares}

\begin{block}{Exercício 11.32 (a)}
\begin{align*}
Resposta_1\ &=\ \binom{10}{5}\cdot\frac{5!}{5}\ =\ \frac{10!}{5!\cnot{5!}}\cdot\frac{\cnot{5!}}{5}\ =\ \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot\cnot{5!}}{\cnot{5!}\cdot 5}\ =\ \cor{6048}\\
Resposta_2\ &=\ \frac{10!}{5!}\cdot\frac{1}{5}\ =\ \cor{6048}\\
Resposta_3\ &=\ \Big(10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\Big)\cdot\frac{1}{5}\ =\ \cor{6048}
\end{align*}
\end{block}

\begin{block}{Exercício 11.32 (b)}
\begin{align*}
Resposta_1\ &=\ \binom{10}{5}\cdot\frac{5!}{5}\cdot\frac{5!}{5}\ =\ \frac{10!}{\cnot{5!}\cnot{5!}}\cdot\frac{\cnot{5!}}{5}\cdot\frac{\cnot{5!}}{5}\ =\ \frac{10!}{25}\ =\ \cor{145152}\\
Resposta_2\ &=\ \Big(10!\Big)\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\ =\ \cor{145152\ =\ 6048\cdot 4!}\\
\end{align*}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.10 - Combinações múltiplas}

\begin{block}{Exercício 11.35}
Quantas maneiras existem de distribuir 5 cartas para cada um de 4 jogadores, de
um baralho de 52 cartas?
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{align*}
Resposta_1\ &=\ \binom{52}{5}\cdot\binom{47}{5}\cdot\binom{42}{5}\cdot\binom{37}{5}\ =\ \frac{52!}{5!\cnot{47!}}\cdot\frac{\cnot{47!}}{5!\cnot{42!}}\cdot\frac{\cnot{42!}}{5!\cnot{37!}}\cdot\frac{\cnot{37!}}{5!32!}\\
&=\ \cor{\frac{52!}{5!5!5!5!32!}}\\
Resposta_2\ &=\ \cor{\binom{52}{5,5,5,5,32}}\ =\ \frac{52!}{5!5!5!5!32!}
\end{align*}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.10 - Combinações múltiplas}

\begin{block}{Exercício 11.36}
Quantas maneiras distintas existem de pintar 20 casas com as cores \alert{vermelha},
\cor{azul}, \corB{verde} e \textcolor{yellow}{\bf amarela} (cada casa de uma só cor), sendo que deve haver o mesmo número (5) de casas de cada cor?
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{align*}
Resposta_1\ &=\ \binom{20}{5}\cdot\binom{15}{5}\cdot\binom{10}{5}\cdot\binom{5}{5}\ =\ \frac{20!}{5!\cnot{15!}}\cdot\frac{\cnot{15!}}{5!\cnot{10!}}\cdot\frac{\cnot{10!}}{5!\cnot{5!}}\cdot\frac{\cnot{5!}}{5!0!}\\
&=\ \cor{\frac{20!}{5!5!5!5!}}\\
Resposta_2\ &=\ \cor{\binom{20}{5,5,5,5}}\ =\ \frac{20!}{5!5!5!5!}
\end{align*}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.10 - Combinações múltiplas}

\begin{block}{Exercício 11.38}
Quantas maneiras há de dividir 16 alunos em 3 grupos de estudo, para Física,
Química e Matemática; sendo que deve haver 6 alunos em cada um dos dois primeiros grupos, e 4 no último?
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{align*}
Resposta_1\ &=\ \binom{16}{6}\cdot\binom{10}{6}\cdot\binom{4}{4}\ =\ \frac{16!}{6!\cnot{10!}}\cdot\frac{\cnot{10!}}{6!4!}\ =\ \cor{\frac{16!}{6!6!4!}}\\
Resposta_2\ &=\ \cor{\binom{16}{6,6,4}}\ =\ \frac{16!}{6!6!4!}
\end{align*}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.9 - Permutações com alguns elementos iguais}

\begin{block}{Exemplo: Anagramas}
Quantos anagramas existem da palavra BANANAS?
\end{block}

\begin{block}{Solução}
\begin{align*}
Resposta_1\ &=\ \cor{\frac{7!}{3!2!}}\\
Resposta_2\ &=\ \binom{7}{1}\cdot\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{2}\cdot\binom{1}{1}\ =\ \frac{7!}{1!\cnot{6!}}\cdot\frac{\cnot{6!}}{3!\cnot{3!}}\cdot\frac{\cnot{3!}}{2!\cnot{1!}}\cdot\frac{\cnot{1!}}{1!0!}\\
&=\ \cor{\frac{7!}{1!3!2!1!}}\\
Resposta_3\ &=\ \cor{\binom{7}{1,3,2,1}}\ =\ \frac{7!}{1!3!2!1!}
\end{align*}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.9 - Permutações com alguns elementos iguais}

\begin{block}{Exemplo: Anagramas}
Quantos anagramas existem da palavra PARALELEPIPEDO?
\end{block}

\begin{block}{Solução}
(P,E,A,L,R,I,D,O)=(3,3,2,2,1,1,1,1). Total: 14 letras.
\begin{align*}
Resposta_1\ &=\ \cor{\frac{14!}{3!3!2!2!}}\\
Resposta_2\ &=\ \binom{14}{3}\cdot\binom{11}{3}\cdot\binom{8}{2}\cdot\binom{6}{2}\cdot 4!\ =\ \frac{14!}{3!\cnot{11!}}\cdot\frac{\cnot{11!}}{3!\cnot{8!}}\cdot\frac{\cnot{8!}}{2!\cnot{6!}}\cdot\frac{\cnot{6!}}{2!\cnot{4!}}\cdot\cnot{4!}\\
&=\ \cor{\frac{14!}{3!3!2!2!}}\\
Resposta_3\ &=\ \cor{\binom{14}{3,3,2,2,1,1,1,1}}\ =\ \frac{14!}{3!3!2!2!}
\end{align*}
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 11.41:}
Uma roleta tem 10 setores numerados. Deve-se pintar cada setor com uma cor diferente das de seus dois vizinhos. Há 5 cores disponíveis.
De quantas maneiras podemos pintar essa roleta?

\begin{block}{Solução:}
\textbf{$1^o$ tentativa:} Escolhe uma das 5 cores para o setor 1, depois uma das 4 cores para o setor 2, 4 cores para o setor 3, $\ldots$ e 4 cores para o setor 9.\\
Falta escolher as cores do setor 10. Até aí temos $5\cdot 4^{n-2}$ possibilidades.\\
Para o setor 10, temos 3 ou 4 possibilidades, dependendo se a cor do setor 9 é diferente ou igual a do setor 1. \textit{Não parece ser fácil por aí...}
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{circ-div10a.png}
%\caption{}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 11.41:}
Uma roleta tem 10 setores numerados. Deve-se pintar cada setor com uma cor diferente das de seus dois vizinhos. Há 5 cores disponíveis.
De quantas maneiras podemos pintar essa roleta?

\begin{block}{Solução:}
\textbf{$2^o$ tentativa:} Recorrência.
Seja $a_n$ o número de modos de pintar uma roleta com $n$ setores. Queremos calcular $a_{10}$.\\
$\mathbf{a_2=}5\cdot 4=20,\ \ \mathbf{a_3=}5\cdot 4\cdot 3=60,\ \ \mathbf{a_4=}5\cdot 4\cdot 3\cdot 3\ +\ 5\cdot 1\cdot 4\cdot 4\ =\ 260$\\
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{circ-div10c.png}
%\caption{}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 11.41:}
Uma roleta tem 10 setores numerados. Deve-se pintar cada setor com uma cor diferente das de seus dois vizinhos. Há 5 cores disponíveis.
De quantas maneiras podemos pintar essa roleta?

\begin{block}{Solução:}
\textbf{$2^o$ tentativa:} Recorrência.
Seja $a_n$ o número de modos de pintar uma roleta com $n$ setores. Queremos calcular $a_{10}$.\\
$\mathbf{a_2=}20,\ \ \ \ \ \ \ \mathbf{a_3=}60,\ \ \ \ \ \ \ \mathbf{a_4=}260$\\
\cor{$a_n\ =\ 3a_{n-1}+4a_{n-2}$}, para $n\geq 5$\\
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{circ-div10b.png}
%\caption{}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 11.41:}
Uma roleta tem 10 setores numerados. Deve-se pintar cada setor com uma cor diferente das de seus dois vizinhos. Há 5 cores disponíveis.
De quantas maneiras podemos pintar essa roleta?

\begin{block}{Solução:}
\textbf{$2^o$ tentativa:} Recorrência.
Seja $a_n$ o número de modos de pintar uma roleta com $n$ setores. Queremos calcular $a_{10}$.\\
$\mathbf{a_2=}20,\ \ \ \ \ \ \ \mathbf{a_3=}60,\ \ \ \ \ \ \ \mathbf{a_4=}260$\\
\cor{$a_n\ =\ 3a_{n-1}+4a_{n-2}$}, para $n\geq 5$\\

\vspace{0.5cm}

Recorrência de 2$^o$-ordem: \alert{eq. caract.} $\mathbf{x^2-3x-4=0}$\\
Raízes $\mathbf{r_1=4}$ e $\mathbf{r_2=-1}$\ \ \ $\Tto$\ \ \ \cor{$a_n\ =\ c_1\cdot 4^n+c_2\cdot(-1)^n$}\\
Podemos calcular facilmente $c_1=1$ e $c_2=4$ com os valores de $a_2$ e $a_3$.\\

\vspace{0.5cm}

$\cor{\mathbf{a_n\ =\ 4^n\ +\ 4\cdot(-1)^n}}$,\ \ \ para $n\geq 2$.

%$a_1$ é um caso especial, que deve ser considerado separadamente.

\vspace{0.5cm}

$\mathbf{a_{10}}\ =4^{10}+4\cdot(-1)^{10}\ =\ (1024)^2+4\ =\ \mathbf{1.048.580}$
\end{block}
}










%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 11.41'':}
Uma roleta tem $n$ setores numerados. Deve-se pintar cada setor com uma cor diferente das de seus dois vizinhos. Há $k+1$ cores disponíveis.
De quantas maneiras podemos pintar essa roleta?

\begin{block}{Solução:}
\textbf{$1^o$ tentativa:} Escolhe uma das $k+1$ cores para o setor 1, depois uma das $k$ cores para o setor 2, $\ldots$ e $k$ cores para o setor $n-1$.\\
Faltam as cores do setor $n$. Até aí temos $(k+1)\cdot k^{n-2}$ possibilidades.\\
Para o setor $n$, temos $k-1$ ou $k$ possibilidades, dependendo se a cor do setor $n-1$ é diferente ou igual a do setor 1. \textit{Não parece ser fácil por aí...}
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{circ-div10ak.png}
%\caption{}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 11.41'':}
Uma roleta tem $n$ setores numerados. Deve-se pintar cada setor com uma cor diferente das de seus dois vizinhos. Há $k+1$ cores disponíveis.
De quantas maneiras podemos pintar essa roleta?

\begin{block}{Solução:}
\textbf{$2^o$ tentativa:} Recorrência.
Seja $a_n$ o número de modos de pintar uma roleta com $n$ setores usando $k+1$ cores.\\
$\mathbf{a_2=}(k+1)\cdot k=\mathbf{k^2+k},\ \ \mathbf{a_3=}(k+1)\cdot k\cdot(k-1)\ =\ \mathbf{k^3-k}$\\
$\mathbf{a_4=}(k+1)\cdot k\cdot(k-1)^2\ +\ (k+1)\cdot 1\cdot k^2\ =\ \mathbf{k^4+k}$\\
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{circ-div10ck.png}
%\caption{}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 11.41'':}
Uma roleta tem $n$ setores numerados. Deve-se pintar cada setor com uma cor diferente das de seus dois vizinhos. Há $k+1$ cores disponíveis.
De quantas maneiras podemos pintar essa roleta?

\begin{block}{Solução:}
\textbf{$2^o$ tentativa:} Recorrência.
Seja $a_n$ o número de modos de pintar uma roleta com $n$ setores usando $k+1$ cores.\\
$\mathbf{a_2=}\mathbf{k^2+k},\ \ \ \ \ \mathbf{a_3=}\mathbf{k^3-k},\ \ \ \ \ \mathbf{a_4=}\mathbf{k^4+k}$\\
\cor{$a_n\ =\ (k-1)\cdot a_{n-1}+k\cdot a_{n-2}$}, para $n\geq 5$\\
\end{block}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{circ-div10bk.png}
%\caption{}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 11.41'':}
Uma roleta tem $n$ setores numerados. Deve-se pintar cada setor com uma cor diferente das de seus dois vizinhos. Há $k+1$ cores disponíveis.
De quantas maneiras podemos pintar essa roleta?

\begin{block}{Solução:}
\textbf{$2^o$ tentativa:} Recorrência.
Seja $a_n$ o número de modos de pintar uma roleta com $n$ setores usando $k+1$ cores.\\
$\mathbf{a_2=k^2+k},\ \ \ \ \ \mathbf{a_3=k^3-k},\ \ \ \ \ \mathbf{a_4=k^4+k}$\\
\cor{$a_n\ =\ (k-1)\cdot a_{n-1}+k\cdot a_{n-2}$}, para $n\geq 5$\\

\vspace{0.5cm}

Recorrência de 2$^o$-ordem: \alert{eq. caract.} $\mathbf{x^2-(k-1)x-k=0}$\\
Raízes $\mathbf{r_1=k}$ e $\mathbf{r_2=-1}$\ \ \ $\Tto$\ \ \ \cor{$a_n\ =\ c_1\cdot k^n+c_2\cdot(-1)^n$}\\
Podemos calcular facilmente $c_1=1$ e $c_2=k$ com os valores de $a_2$ e $a_3$.\\

\vspace{0.5cm}

$\cor{\mathbf{a_n\ =\ k^n\ +\ k\cdot(-1)^n}}$,\ \ \ para $n\geq 2$.\\

%$a_1 é um caso especial, que deve ser considerado separadamente.

\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 10(b) - Lista 3:}
${p+n+1\choose p+1}\ =\ \sum_{r = 0}^n {p+r\choose p}\ =\ \binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}+\ldots+\binom{p+n-1}{p}+\binom{p+n}{p}$

\begin{block}{Resolução: equação $x_1+x_2+\ldots+x_{p+1}+x_{p+2}=n$}
Número de soluções naturais: $\binom{n+(p+2)-1}{(p+2)-1}\ =\ \mathbf{\binom{p+n+1}{p+1}}$\\

\textbf{Resolução alternativa:}\\
\cor{Caso 0:} $x_{p+2}=0\ \Tto$\ \textbf{n$^o$ soluções:} $\binom{(n-0)+(p+1)-1}{(p+1)-1}\ =\ \binom{p+n}{p}$\\
\cor{Caso 1:} $x_{p+2}=1\ \Tto$\ \textbf{n$^o$ soluções:} $\binom{(n-1)+(p+1)-1}{(p+1)-1}\ =\ \binom{p+n-1}{p}$\\
\cor{Caso 2:} $x_{p+2}=2\ \Tto$\ \textbf{n$^o$ soluções:} $\binom{(n-2)+(p+1)-1}{(p+1)-1}\ =\ \binom{p+n-2}{p}$\\
\cor{Caso 3:} $x_{p+2}=3\ \Tto$\ \textbf{n$^o$ soluções:} $\binom{(n-3)+(p+1)-1}{(p+1)-1}\ =\ \binom{p+n-3}{p}$\\
$\ldots$\\
$\ldots$\\
\cor{Caso $n$:} $x_{p+2}=n\ \Tto$\ \textbf{n$^o$ soluções:} $\binom{(n-n)+(p+1)-1}{(p+1)-1}\ =\ \binom{p}{p}$\\

\vspace{0.5cm}

Pelo \cor{princípio aditivo da contagem}, temos por \textbf{dupla contagem}:\\
${p+n+1\choose p+1}\ =\ \sum_{r = 0}^n {p+r\choose p}\ =\ \binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}+\ldots+\binom{p+n-1}{p}+\binom{p+n}{p}$

\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 10(b) - Lista 3:}
${p+n+1\choose p+1}\ =\ \sum_{r = 0}^n {p+r\choose p}\ =\ \binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}+\ldots+\binom{p+n-1}{p}+\binom{p+n}{p}$

\vspace{2cm}

{\bf Exercício 10(a) - Lista 3:}
${n+p+1\choose p}\ =\ \sum_{r = 0}^p {n+r\choose r}\ =\ \binom{n}{0}+\binom{n+1}{1}+\binom{n+2}{2}+\ldots+\binom{n+p-1}{p-1}+\binom{n+p}{p}$

\begin{block}{Resolução:}
$\sum_{r = 0}^p {n+r\choose r}\ =\ \sum_{r = 0}^p {n+r\choose n}\ \EqB{(b)}\ \binom{n+p+1}{n+1}\ =\ \binom{n+p+1}{p}$
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 10(c) - Lista 3:}
$\binom{n+2}{p+2}\ =\ \binom{n}{p}+2\cdot\binom{n}{p+1}+\binom{n}{p+2}$

\vspace{0.5cm}

\begin{block}{Resolução:}
Em um grupo de $n$ homens e 2 mulheres, selecionar $p+2$ pessoas.\\
Total: $\binom{n+2}{p+2}$
\vspace{0.5cm}

\textbf{Resolução alternativa:}\\
\cor{Caso 2:} Tem 2 mulheres: \ \ \ \ \ $\binom{n}{p}$\\
\cor{Caso 1:} Tem 1 mulher:\ \ \ \ $2\cdot\binom{n}{p+1}$\\
\cor{Caso 0:} Tem 0 mulheres:\ \ \ \ \ $\binom{n}{p+2}$\\

\vspace{0.5cm}

Pelo \cor{princípio aditivo da contagem}, temos por \textbf{dupla contagem}:\\
$\binom{n+2}{p+2}\ =\ \binom{n}{p}+2\cdot\binom{n}{p+1}+\binom{n}{p+2}$

\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 10(d) - Lista 3:}
$\binom{n+3}{p+3}\ =\ \binom{n}{p}+3\cdot\binom{n}{p+1}+3\cdot\binom{n}{p+2}+\binom{n}{p+3}$

\vspace{0.5cm}

\begin{block}{Resolução:}
Em um grupo de $n$ homens e 3 mulheres, selecionar $p+3$ pessoas.\\
Total: $\binom{n+3}{p+3}$
\vspace{0.5cm}

\textbf{Resolução alternativa:}\\
\cor{Caso 3:} Tem 3 mulheres:\ \ \ \ \ \ \ $\binom{n}{p}$\\
\cor{Caso 2:} Tem 2 mulheres: $3\cdot\binom{n}{p+1}$\\
\cor{Caso 1:} Tem 1 mulher:\ \ \ \ $3\cdot\binom{n}{p+2}$\\
\cor{Caso 0:} Tem 0 mulheres:\ \ \ \ \ $\binom{n}{p+3}$\\

\vspace{0.5cm}

Pelo \cor{princípio aditivo da contagem}, temos por \textbf{dupla contagem}:\\
$\binom{n+3}{p+3}\ =\ \binom{n}{p}+3\cdot\binom{n}{p+1}+3\cdot\binom{n}{p+2}+\binom{n}{p+3}$

\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 10(e) - Lista 3:}
$\binom{n+4}{p+4}\ =\ \binom{n}{p}+4\cdot\binom{n}{p+1}+6\cdot\binom{n}{p+2}+4\cdot\binom{n}{p+3}+\binom{n}{p+4}$

\vspace{0.5cm}

\begin{block}{Resolução:}
Em um grupo de $n$ homens e 4 mulheres, selecionar $p+4$ pessoas.\\
Total: $\binom{n+4}{p+4}$
\vspace{0.5cm}

\textbf{Resolução alternativa:}\\
\cor{Caso 4:} Tem 4 mulheres: \ \ \ \ $\binom{n}{p}$\\
\cor{Caso 3:} Tem 3 mulheres: $4\cdot\binom{n}{p+1}$\\
\cor{Caso 2:} Tem 2 mulheres: $6\cdot\binom{n}{p+2}$\\
\cor{Caso 1:} Tem 1 mulher:\ \ \ \ $4\cdot\binom{n}{p+3}$\\
\cor{Caso 0:} Tem 0 mulheres:\ \ \ \ \ $\binom{n}{p+4}$\\

\vspace{0.5cm}

Pelo \cor{princípio aditivo da contagem}, temos por \textbf{dupla contagem}:\\
$\binom{n+4}{p+4}\ =\ \binom{n}{p}+4\cdot\binom{n}{p+1}+6\cdot\binom{n}{p+2}+4\cdot\binom{n}{p+3}+\binom{n}{p+4}$

\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.11 - Princípio aditivo da contagem}

{\bf Exercício 10(f) - Lista 3:}
${n+k\choose p+k} = \sum_{r=0}^k {k\choose r}\cdot{n\choose p+r}$

\vspace{0.2cm}

\begin{block}{Resolução:}
Em um grupo de $n$ homens e $k$ mulheres, selecionar $p+k$ pessoas.\\
Total: $\binom{n+k}{p+k}$
\vspace{0.2cm}

\textbf{Resolução alternativa:}\\
\cor{Caso $0$:} Tem $k-0$ mulheres:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\binom{n}{p}$\\
\cor{Caso $1$:} Tem $k-1$ mulheres:\ \ \ \ \ \ $k\cdot\binom{n}{p+1}$\\
..................................................................\\
\cor{Caso $r$:} Tem $k-r$ mulheres: $\binom{k}{k-r}\cdot\binom{n}{p+r}\ =\ \binom{k}{r}\cdot\binom{n}{p+r}$\\
..................................................................\\
\cor{Caso $k-2$:} Tem $2$ mulheres: $\binom{k}{2}\cdot\binom{n}{p+k-2}\ =\ \binom{k}{k-2}\cdot\binom{n}{p+k-2}$\\
\cor{Caso $k-1$:} Tem 1 mulher:\ \ \ \ \ \ \ $k\cdot\binom{n}{p+k-1}\ =\ \binom{k}{k-1}\cdot\binom{n}{p+k-1}$\\
\cor{Caso $k-0$:} Tem 0 mulheres:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\binom{n}{p+k}$\\

\vspace{0.3cm}

Pelo \cor{princípio aditivo da contagem}, temos por \textbf{dupla contagem}:\\
${n+k\choose p+k} = \sum_{r=0}^k {k\choose r}\cdot{n\choose p+r}$

\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Questão 10 Lista 3 (soluções alternativas)}

{\bf Exercício 10(a) - Lista 3:}
${n+p+1\choose p}\ =\ \sum_{r = 0}^p {n+r\choose r}\ =\ \binom{n}{0}+\binom{n+1}{1}+\binom{n+2}{2}+\ldots+\binom{n+p-1}{p-1}+\binom{n+p}{p}$

\vspace{0.3cm}

\begin{block}{Resolução: Relação de Stifel ou Identidade de Pascal}
$\ \binom{n}{0}\ \ +\binom{n+1}{1}+\binom{n+2}{2}+\binom{n+3}{3}+\ldots+\binom{n+p}{p}=$\\
$\binom{n+1}{0}+\binom{n+1}{1}+\binom{n+2}{2}+\binom{n+3}{3}+\ldots+\binom{n+p}{p}=$\\
$\binom{n+2}{1}+\binom{n+2}{2}+\binom{n+3}{3}+\binom{n+4}{4}+\ldots+\binom{n+p}{p}=$\\
$\binom{n+3}{2}+\binom{n+3}{3}+\binom{n+4}{4}+\binom{n+5}{5}+\ldots+\binom{n+p}{p}=$\\
$\binom{n+4}{3}+\binom{n+4}{4}+\binom{n+5}{5}+\binom{n+6}{6}+\ldots+\binom{n+p}{p}=$\\
$\binom{n+5}{4}+\binom{n+5}{5}+\binom{n+6}{6}+\binom{n+7}{7}+\ldots+\binom{n+p}{p}=$\\
...........................................................................\\
$\binom{n+p-2}{p-3}+\binom{n+p-2}{p-2}+\binom{n+p-1}{p-1}+\binom{n+p}{p}=$\\
$\binom{n+p-1}{p-2}+\binom{n+p-1}{p-1}+\binom{n+p}{p}=$\\
$\binom{n+p}{p-1}+\binom{n+p}{p}=$\\
$\mathbf{\binom{n+p+1}{p}}$
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Questão 10 Lista 3 (soluções alternativas)}

{\bf Exercício 10(b) - Lista 3:}
${p+n+1\choose p+1}\ =\ \sum_{r = 0}^n {p+r\choose p}\ =\ \binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}+\ldots+\binom{p+n-1}{p}+\binom{p+n}{p}$

\vspace{0.3cm}

\begin{block}{Resolução: Relação de Stifel ou Identidade de Pascal}
$\ \binom{p}{p}\ \ +\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}+\binom{p+3}{p}+\ldots+\binom{p+n}{p}=$\\
$\binom{p+1}{0}+\binom{p+1}{1}+\binom{p+2}{2}+\binom{p+3}{3}+\ldots+\binom{p+n}{n}=$\\
$\binom{p+2}{1}+\binom{p+2}{2}+\binom{p+3}{3}+\binom{p+4}{4}+\ldots+\binom{p+n}{n}=$\\
$\binom{p+3}{2}+\binom{p+3}{3}+\binom{p+4}{4}+\binom{p+5}{5}+\ldots+\binom{p+n}{n}=$\\
$\binom{p+4}{3}+\binom{p+4}{4}+\binom{p+5}{5}+\binom{p+6}{6}+\ldots+\binom{p+n}{n}=$\\
$\binom{p+5}{4}+\binom{p+5}{5}+\binom{p+6}{6}+\binom{p+7}{7}+\ldots+\binom{p+n}{n}=$\\
...........................................................................\\
$\binom{p+n-2}{n-3}+\binom{p+n-2}{n-2}+\binom{p+n-1}{n-1}+\binom{p+n}{n}=$\\
$\binom{p+n-1}{n-2}+\binom{p+n-1}{n-1}+\binom{p+n}{n}=$\\
$\binom{p+n}{n-1}+\binom{p+n}{n}=$\\
$\mathbf{\binom{p+n+1}{n}}$
\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Questão 10 Lista 3 (soluções alternativas)}

{\bf Exercício 10(c) - Lista 3:}
$\binom{n+2}{p+2}\ =\ \binom{n}{p}+2\binom{n}{p+1}+\binom{n}{p+2}$

\vspace{1cm}

\begin{block}{Resolução: Relação de Stifel ou Identidade de Pascal}
$\binom{n}{p}\ \ \ +\ \ \ 2\binom{n}{p+1}\ \ +\ \ \binom{n}{p+2}=$\\
$\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}\ \ \ +\ \ \ \binom{n}{p+1}+\binom{n}{p+2}=$\\
\ \ \ $\binom{n+1}{p+1}\ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ \binom{n+1}{p+2}=$\\
\vspace{1cm}
\esp{20}$\mathbf{\binom{n+2}{p+2}}$
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Questão 10 Lista 3 (soluções alternativas)}

{\bf Exercício 10(d) - Lista 3:}
$\binom{n+3}{p+3}\ =\ \binom{n}{p}+3\binom{n}{p+1}+3\binom{n}{p+2}+\binom{n}{p+3}$

\vspace{1cm}

\begin{block}{Resolução: Relação de Stifel ou Identidade de Pascal}
$\binom{n}{p}+\esp{8}3\binom{n}{p+1}+\esp{20}3\binom{n}{p+2}+\esp{10}\binom{n}{p+3}=$\\
$\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}\ \ \ +\ \ \ 2\binom{n}{p+1}+2\binom{n}{p+2}\ \ \ +\ \ \ \binom{n}{p+2}+\binom{n}{p+3}=$\\
\ \ \ $\binom{n+1}{p+1}\ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ 2\binom{n+1}{p+2}\ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ \binom{n+1}{p+3}\esp{15}\EqB{(c)}$\\
\vspace{1cm}
$\mathbf{\binom{n+3}{p+3}}$
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Questão 10 Lista 3 (soluções alternativas)}

{\bf Exercício 10(e) - Lista 3:}
$\binom{n+4}{p+4}\ =\ \binom{n}{p}+4\cdot\binom{n}{p+1}+6\cdot\binom{n}{p+2}+4\cdot\binom{n}{p+3}+\binom{n}{p+4}$

\vspace{0.3cm}

\begin{block}{Resolução: Relação de Stifel ou Identidade de Pascal}
$\binom{n}{p}\ \ +\ \ 4\binom{n}{p+1}+\esp{16}6\binom{n}{p+2}+\esp{16}4\binom{n}{p+3}\ \ \ +\binom{n}{p+4}=$\\
$\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}\ \ \ +\ \ \ 3\binom{n}{p+1}+3\binom{n}{p+2}\ \ \ +\ \ \ 3\binom{n}{p+2}+3\binom{n}{p+3}\ \ \ +\ \ \ \binom{n}{p+3}+\binom{n}{p+4}=$\\
$\binom{n+1}{p+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3\binom{n+1}{p+2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3\binom{n+1}{p+3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \binom{n+1}{p+4}\esp{5}\EqB{(d)}$\\
\vspace{0.5cm}
$\mathbf{\binom{n+4}{p+4}}$
\end{block}

\vspace{0.8cm}
{\bf Exercício 10(f) - Lista 3:}
${n+k\choose p+k} = \sum_{r=0}^k {k\choose r}\cdot{n\choose p+r}$\\
É possível provar por indução em $k$ usando esse mesmo esquema. 
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.12 - Princípio Subtrativo da Contagem}

{\bf Exercício 11.43:} Quantas mãos de 4 cartas podem ser tiradas de um baralho comum (de 52 cartas) nas quais aparecem pelo menos dois ases?

\vspace{0.4cm}

\begin{block}{Solução pelo Princípio Subtrativo: Tudo menos 0 ou 1 Ás}
Total = $\binom{52}{4}$\\
Complemento (no máximo 1 Ás):\ $\binom{48}{4}\ +\ 4\cdot\binom{48}{3}$\\
Resultado = $\binom{52}{4}-\binom{48}{4}-4\cdot\binom{48}{3}\ =\ \frac{52!}{4!48!}-\frac{48!}{4!44!}-4\cdot\frac{48!}{3!45!}$\\
\vspace{0.3cm}
\esp{15}$=\frac{52\cdot 51\cdot 50\cdot 49}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}-\frac{48\cdot 47\cdot 46\cdot 45}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}-4\cdot\frac{48\cdot 47\cdot 46}{3\cdot 2\cdot 1}\ =\ \textbf{\cor{6961}}$
\end{block}

\vspace{0.4cm}

\begin{block}{Solução pelo Princípio Aditivo: 4 Ases + 3 Ases + 2 Ases}
Resultado = $\binom{4}{4}\binom{48}{0}\ +\ \binom{4}{3}\cdot\binom{48}{1}\ +\ \binom{4}{2}\binom{48}{2}\ =\ 1\ +\ 4\cdot 48\ +\ 6\cdot\frac{48\cdot 47}{2}\ =\ \textbf{\cor{6961}}$
\end{block}
}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{\centering
\huge{\alert{Capítulo 11.13\\INCLUSÃO E EXCLUSÃO}}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.13 - Princípio da Inclusão e Exclusão}

$\mathbf{|A\cup B\cup C\cup D|\ =}\ \cor{|A|+|B|+|C|+|D|}\ \ \alert{-}$\\
\esp{10}$\alert{-|A\cap B|-|A\cap C|-|A\cap D|-|B\cap C|-|B\cap D|-|C\cap D|}\ \ \cor{+}$\\
\esp{10}$\cor{+|A\cap B\cap C|+|A\cap B\cap D|+|A\cap C\cap D|+|B\cap C\cap D|}\ \ \alert{-}$\\
\esp{10}$\alert{-|A\cap B\cap C\cap D|}$

\vspace{1.0cm}

$\mathbf{|A\cup B\cup C\cup D\cup E|\ =}\ \cor{|A|+|B|+|C|+|D|+|E|}\ \ \alert{-}$\\
\esp{0}\alert{-|A$\cap$B|-|A$\cap$C|-|A$\cap$D|-|A$\cap$E|}%\\
\esp{0}\alert{-|B$\cap$C|-|B$\cap$D|-|B$\cap$E|-|C$\cap$D|-|C$\cap$E|-|D$\cap$E|}\ \ \cor{+}\\
\esp{0}\cor{+|A$\cap$B$\cap$C|+|A$\cap$B$\cap$D|+|A$\cap$B$\cap$E|+|A$\cap$C$\cap$D|+|A$\cap$C$\cap$E|+}\\
\esp{0}\cor{+|A$\cap$D$\cap$E|+|B$\cap$C$\cap$D|+|B$\cap$C$\cap$E|+|B$\cap$D$\cap$E|+|C$\cap$D$\cap$E|}\ \alert{$-$}\\
\esp{0}\alert{-|A$\cap$B$\cap$C$\cap$D|-|A$\cap$B$\cap$C$\cap$E|-|A$\cap$C$\cap$D$\cap$E|-|B$\cap$C$\cap$D$\cap$E|}\\
\esp{0}$\cor{+|A\cap B\cap C\cap D\cap E|}$
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.13 - Princípio da Inclusão e Exclusão}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.25]{3circ-0.png}
%\caption{}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.13 - Princípio da Inclusão e Exclusão}

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{4circ-0.png}
%\caption{}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.13 - Princípio da Inclusão e Exclusão}

{\bf Exercício:} Quantos números entre 1 e 60 não são divisíveis por 2, 3 ou 5?

\vspace{0.2cm}

\begin{block}{Solução pelo Princípio da Inclusão e Exclusão}
$A_k$: conjunto dos múltiplos de $k$ de 1 a 60 $\Tto\ |A_k|=\left\lfloor\frac{60}{k}\right\rfloor$.\\
\vspace{0.1cm}
\cor{$|A_2|=\left\lfloor\frac{60}{2}\right\rfloor\ =\ 30$}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
\cor{$|A_3|=\left\lfloor\frac{60}{3}\right\rfloor\ =\ 20$}\\
\cor{$|A_5|=\left\lfloor\frac{60}{5}\right\rfloor\ =\ 12$}\\ 
\alert{$|A_2\cap A_3|\ =|A_{2\cdot 3}|\ =\left\lfloor\frac{60}{6}\right\rfloor\ =\ 10$}\\
\alert{$|A_2\cap A_5|\ =|A_{2\cdot 5}|\ =\left\lfloor\frac{60}{10}\right\rfloor\ =\ 6$}\\
\alert{$|A_3\cap A_5|\ =|A_{3\cdot 5}|\ =\left\lfloor\frac{60}{15}\right\rfloor\ =\ 4$}\\
\cor{$|A_2\cap A_3\cap A_5|\ =|A_{2\cdot 3\cdot 5}|\ =\left\lfloor\frac{60}{30}\right\rfloor\ =\ 2$}\\

\vspace{0.5cm}
Pelo Princípio da Inclusão e Exclusão, temos que:\\
$|A_2\cup A_3\cup A_5|\ =\ \cor{30+20+12}\alert{-10-6-4}\cor{+2}\ =\ \ \textbf{44}$

\vspace{0.5cm}

\textbf{Resultado final} = 60 - 44 = \cor{\textbf{16}}\ \ \ (Princípio Subtrativo)\\
\textbf{1},7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,\textbf{49},53,59
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.13 - Princípio da Inclusão e Exclusão}

{\bf Exercício:} Quantos números entre 1 e 1001 não são divisíveis por 7, 11 ou 13?

\vspace{0.2cm}

\begin{block}{Solução pelo Princípio da Inclusão e Exclusão}
$A_k$: conjunto dos múltiplos de $k$ de 1 a 1001 $\Tto\ |A_k|=\left\lfloor\frac{1001}{k}\right\rfloor$.\\
\vspace{0.1cm}
\cor{$|A_7|=\left\lfloor\frac{1001}{7}\right\rfloor\ =\ 143$}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
\cor{$|A_{11}|=\left\lfloor\frac{1001}{11}\right\rfloor\ =\ 91$}\\
\cor{$|A_{13}|=\left\lfloor\frac{1001}{13}\right\rfloor\ =\ 77$}\\ 
\alert{$|A_7\cap A_{11}|\ =|A_{7\cdot 11}|\ =\left\lfloor\frac{1001}{77}\right\rfloor\ =\ 13$}\\
\alert{$|A_7\cap A_{13}|\ =|A_{7\cdot 13}|\ =\left\lfloor\frac{1001}{91}\right\rfloor\ =\ 11$}\\
\alert{$|A_{11}\cap A_{13}|\ =|A_{11\cdot 13}|\ =\left\lfloor\frac{1001}{143}\right\rfloor\ =\ 7$}\\
\cor{$|A_7\cap A_{11}\cap A_{13}|\ =|A_{7\cdot 11\cdot 13}|\ =\left\lfloor\frac{1001}{1001}\right\rfloor\ =\ 1$}\\

\vspace{0.5cm}
Pelo Princípio da Inclusão e Exclusão, temos que:\\
$|A_7\cup A_{11}\cup A_{13}|\ =\ \cor{143+91+77}\alert{-13-11-7}\cor{+1}\ =\ \ \textbf{281}$

\vspace{0.5cm}

\textbf{Resultado final} = 1001 - 281 = \cor{\textbf{720}}\ \ \ (Princípio Subtrativo)\\
\end{block}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 11.13 - Princípio da Inclusão e Exclusão}

{\bf Ex. 02 da Lista 3:} Quantos números entre 1 e 350.000 não são divisíveis por 7, 11,
13, 17 ou 19?

\vspace{0.2cm}

\begin{block}{Solução pelo Princípio da Inclusão e Exclusão}
$A_k$: conjunto dos múltiplos de $k$ de 1 a 350.000 $\Tto\ |A_k|=\left\lfloor\frac{350.000}{k}\right\rfloor$.\\
\vspace{0.1cm}
\cor{$|A_7|=\left\lfloor\frac{350.000}{7}\right\rfloor\ =\ 50000$}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
\cor{$|A_{11}|=\left\lfloor\frac{350.000}{11}\right\rfloor\ =\ 31818$}\\
\cor{$|A_{13}|=\left\lfloor\frac{350.000}{13}\right\rfloor\ =\ 26923$}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
\cor{$|A_{17}|=\left\lfloor\frac{350.000}{17}\right\rfloor\ =\ 20588$}\\
\cor{$|A_{19}|=\left\lfloor\frac{350.000}{19}\right\rfloor\ =\ 18421$}\\
\alert{$|A_7\cap A_{11}|\ =|A_{7\cdot 11}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 11}\right\rfloor\ =\ 4545$}\\
\alert{$|A_7\cap A_{13}|\ =|A_{7\cdot 13}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 13}\right\rfloor\ =\ 3846$}\\
\alert{$|A_7\cap A_{17}|\ =|A_{7\cdot 17}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 17}\right\rfloor\ =\ 2941$}\\
\alert{$|A_7\cap A_{19}|\ =|A_{7\cdot 19}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 2631$}\\
\alert{$|A_{11}\cap A_{13}|=|A_{11\cdot 13}|=\left\lfloor\frac{350.000}{11\cdot 13}\right\rfloor\ =\ 2447$}\\
\alert{$|A_{11}\cap A_{17}|=|A_{11\cdot 17}|=\left\lfloor\frac{350.000}{11\cdot 17}\right\rfloor\ =\ 1871$}\\
\alert{$|A_{11}\cap A_{19}|=|A_{11\cdot 19}|=\left\lfloor\frac{350.000}{11\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 1674$}\\
\alert{$|A_{13}\cap A_{17}|=|A_{13\cdot 17}|=\left\lfloor\frac{350.000}{13\cdot 17}\right\rfloor\ =\ 1583$}\\
\alert{$|A_{13}\cap A_{19}|=|A_{13\cdot 19}|=\left\lfloor\frac{350.000}{13\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 1417$}\\
\alert{$|A_{17}\cap A_{19}|=|A_{17\cdot 19}|=\left\lfloor\frac{350.000}{17\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 1083$}
\end{block}
}

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\frame{
\frametitle{Seção 11.13 - Princípio da Inclusão e Exclusão}

{\bf Ex. 02 da Lista 3:} Quantos números entre 1 e 350.000 não são divisíveis por 7, 11,
13, 17 ou 19?

\vspace{0.2cm}

\begin{block}{Solução pelo Princípio da Inclusão e Exclusão}
$A_k$: conjunto dos múltiplos de $k$ de 1 a 350.000 $\Tto\ |A_k|=\left\lfloor\frac{350.000}{k}\right\rfloor$.\\
\vspace{0.1cm}
\cor{$|A_7\cap A_{11}\cap A_{13}|\ =|A_{7\cdot 11\cdot 13}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 11\cdot 13}\right\rfloor\ =\ 349$}\\
\cor{$|A_7\cap A_{11}\cap A_{17}|\ =|A_{7\cdot 11\cdot 17}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 11\cdot 17}\right\rfloor\ =\ 267$}\\
\cor{$|A_7\cap A_{11}\cap A_{19}|\ =|A_{7\cdot 11\cdot 19}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 11\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 239$}\\
\cor{$|A_7\cap A_{13}\cap A_{17}|\ =|A_{7\cdot 13\cdot 17}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 13\cdot 17}\right\rfloor\ =\ 226$}\\
\cor{$|A_7\cap A_{13}\cap A_{19}|\ =|A_{7\cdot 13\cdot 19}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 13\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 202$}\\
\cor{$|A_7\cap A_{17}\cap A_{19}|\ =|A_{7\cdot 17\cdot 19}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 17\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 154$}\\
\cor{$|A_{11}\cap A_{13}\cap A_{17}|=|A_{11\cdot 13\cdot 17}|=\left\lfloor\frac{350.000}{11\cdot 13\cdot 17}\right\rfloor\ =\ 143$}\\
\cor{$|A_{11}\cap A_{13}\cap A_{19}|=|A_{11\cdot 13\cdot 19}|=\left\lfloor\frac{350.000}{11\cdot 13\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 128$}\\
\cor{$|A_{11}\cap A_{17}\cap A_{19}|=|A_{11\cdot 17\cdot 19}|=\left\lfloor\frac{350.000}{11\cdot 17\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 98$}\\
\cor{$|A_{13}\cap A_{17}\cap A_{19}|=|A_{13\cdot 17\cdot 19}|=\left\lfloor\frac{350.000}{13\cdot 17\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 83$}\\
\end{block}
}

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\frame{
\frametitle{Seção 11.13 - Princípio da Inclusão e Exclusão}

{\bf Ex. 02 da Lista 3:} Quantos números entre 1 e 350.000 não são divisíveis por 7, 11,
13, 17 ou 19?

\vspace{0.2cm}

\begin{block}{Solução pelo Princípio da Inclusão e Exclusão}
$A_k$: conjunto dos múltiplos de $k$ de 1 a 350.000 $\Tto\ |A_k|=\left\lfloor\frac{350.000}{k}\right\rfloor$.\\
\vspace{0.1cm}
\alert{$|A_{7}\cap A_{11}\cap A_{13}\cap A_{17}|\ =|A_{7\cdot 11\cdot 13\cdot 17}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 11\cdot 13\cdot 17}\right\rfloor\ =\ 20$}\\
\alert{$|A_{7}\cap A_{11}\cap A_{13}\cap A_{19}|\ =|A_{7\cdot 11\cdot 13\cdot 19}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 11\cdot 13\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 18$}\\
\alert{$|A_{7}\cap A_{11}\cap A_{17}\cap A_{19}|\ =|A_{7\cdot 11\cdot 17\cdot 19}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 11\cdot 17\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 14$}\\
\alert{$|A_{7}\cap A_{13}\cap A_{17}\cap A_{19}|\ =|A_{7\cdot 13\cdot 17\cdot 19}|\ =\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 13\cdot 17\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 11$}\\
\alert{$|A_{11}\cap A_{13}\cap A_{17}\cap A_{19}|=|A_{11\cdot 13\cdot 17\cdot 19}|=\left\lfloor\frac{350.000}{11\cdot 13\cdot 17\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 7$}\\
\vspace{1cm}
\cor{$|A_{7}\cap A_{11}\cap A_{13}\cap A_{17}\cap A_{19}|=|A_{7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19}|=\left\lfloor\frac{350.000}{7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19}\right\rfloor\ =\ 1$}\\
\end{block}
}

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\frame{
\frametitle{Seção 11.13 - Princípio da Inclusão e Exclusão}

{\bf Ex. 02 da Lista 3:} Quantos números entre 1 e 350.000 não são divisíveis por 7, 11,
13, 17 ou 19?

\vspace{0.5cm}

\begin{block}{Solução pelo Princípio da Inclusão e Exclusão}
Pelo Princípio da Inclusão e Exclusão, temos que:
$|A_7\cup A_{11}\cup A_{13}\cup A_{17}\cup A_{19}|$\ =\ \cor{50000+31818+26923+20588+18421}\ \ \alert{$-$}\\
\alert{-4545-3846-2941-2631-2447-1871-1674-1583-1417-1083}\ \ \cor{$+$}\\
\cor{+349+267+239+226+202+154+143+128+98+83}\ \ \alert{$-$}\\
\alert{$-20-18-14-11-7$}\ \ \ \cor{+\ 1}\ \ =\ \ \textbf{125.532}

\vspace{0.5cm}
Pelo Princípio Subtrativo da Contagem:\\
\textbf{Resultado final} = 350.000 - 125.532 = \cor{\textbf{224.468}}
\end{block}
}

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\frame{
\frametitle{Seção 11.13 - Princípio da Inclusão e Exclusão}
\[
  |A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n|\ =\ \cor{\sum_{i}|A_i|}\alert{-\sum_{i<j}|A_i\cap A_j|}+\cdots+(-1)^{n-1}|A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n|
\]

{\bf Prova Combinatória:}
\vspace{0.1cm}

Seja $x$ um elemento que aparece em exatamente $m$ dos conjuntos $A_1, A_2,\ldots, A_n$. Quantos conjuntos da forma $A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\cdots\cap A_{i_k}$ com $i_1<i_2<\cdots<i_k$ contém $x$?\\
\textbf{Resposta:} \cor{$\binom{m}{k}$ para $1\leq k\leq m$}, pois é o número de modos de escolher $k$ conjuntos entre os os $m$ conjuntos que contém $x$.\\
No lado direito da Inclusão e Exclusão, $x$ será contado quantas vezes?\\
\cor{$\binom{m}{1}-\binom{m}{2}+\binom{m}{3}-\binom{m}{4}+\cdots+(-1)^{m-1}\binom{m}{m}$}\\

Já vimos que:\\
$\binom{m}{0}-\binom{m}{1}+\binom{m}{2}-\binom{m}{3}+\binom{m}{4}-\cdots+(-1)^m\binom{m}{m}\ =\ (1-1)^m\ =\ 0$\\
$\Tto\ \binom{m}{1}-\binom{m}{2}+\binom{m}{3}-\binom{m}{4}+\cdots+(-1)^{m-1}\binom{m}{m}\ =\ \binom{m}{0}-0\ =\ \cor{\mathbf{1}}$.\\
Logo $x$ será contado exatamente 1 vez.
}




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\frame{\centering
\huge{\alert{PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS}}
}
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\frame{
\frametitle{Princípio da Casa dos Pombos (PCP)}
{\bf 1$^o$ versão:} Se em $n$ caixas colocarmos \cor{mais de} $n$ objetos, alguma caixa terá \cor{mais de} um objeto.
\vspace{0.2cm}

{\bf 2$^o$ versão:} Se em $n$ caixas colocarmos \cor{mais de} $k\cdot n$ objetos, alguma caixa terá \cor{mais de} $k$ objetos.
\vspace{0.2cm}

{\bf Prova por contradição:} Se todas as caixas tiverem no máximo $k$ objetos, então o número de objetos será no máximo $k\cdot n$. Como são mais de $k\cdot n$, objetos, alguma caixa terá mais de $k$ objetos.
\vspace{0.4cm}

{\bf Exemplo:} Em um quadrado de lado 2, prove que todo conjunto de {\bf 5} pontos tem pelo menos 2 a distância $\leq\sqrt{2}$,  que todo conjunto de {\bf 9} pontos tem pelo menos 3 a distância $\leq\sqrt{2}$ e que todo conjunto de {\bf 13} pontos tem pelo menos 4 a distância $\leq\sqrt{2}$ entre si.

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{pombo1.png}
%\caption{}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Princípio da Casa dos Pombos (PCP)}
{\bf 2$^o$ versão:} Se em $n$ caixas colocarmos mais de $k\cdot n$ objetos, alguma caixa terá mais de $k$ objetos.
\vspace{0.2cm}

{\bf Exemplo:} Dados 5 pontos no plano com coordenadas inteiras, prove
que pelo menos um dos dez pontos médio gerados por eles também possui
coordenadas inteiras.
\vspace{0.2cm}

{\bf Solução:} Dividir os pontos em 4 grupos: PP ($x$ e $y$ pares), PI ($x$ par e $y$ ímpar), IP ($x$ ímpar e $y$ par) e II ($x$ e $y$ ímpares).
Dois pontos de um mesmo grupo tem o ponto médio entre eles com coordenadas inteiras, pois $x_m=(x_1+x_2)/2$ e $y_m=(y_1+y_2)/2$. PCP

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{pombo2.png}
%\caption{}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Princípio da Casa dos Pombos}
{\bf 2$^o$ versão:} Se em $n$ caixas colocarmos mais de $k\cdot n$ objetos, alguma caixa terá mais de $k$ objetos.
\vspace{0.2cm}

{\bf Exemplo (Ramsey):} Em um grupo de 6 pessoas, há 3 pessoas que se conhecem mutuamente ou há 3 pessoas que não se conhecem mutuamente.
\vspace{0.2cm}

{\bf Solução:} Pessoas A, B, C, D, E e F. Pelo PCP, $F$ conhece 3 ou desconhece 3 pessoas em A, B, C, D, E. Suponha que F conhece A, B e D, sem perda de generalidade. Se A, B e D não se conhecem, Ok. Se A e B, ou A e D, ou B e D se conhecem, teremos com F três pessoas que se conhecem.

\begin{figure}\centering
\includegraphics[scale=0.3]{pombo3.png}
%\caption{}
\end{figure}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Princípio da Casa dos Pombos}

{\bf Questão 3 da Lista 3:} Sejam $n \in \mathbb N$ e $A \subseteq \{ 0, 1, \cdots, 2n - 1 \}$. Mostre que se $|A| = n + 2$, então $\exists a,a' \in A$, $a \ne a'$, tais que $a + a' = 2n$.
\vspace{1.0cm}

{\bf Solução:} 
Considere o conjunto $A'=A-\{0,n\}$ (pombos). Como $|A|=n+2$, então $|A'|\geq n$.
Vamos formar $n-1$ casa de pombos: $\{1,2n-1\}, \{2,2n-2\}, \{3,2n-3\}, \ldots, \{n-2,n+2\}, \{n-1,n+1\}$.\\ Como $A'$ tem mais de $n-1$ pombos, dois pombos estão na mesma casa.\\ Logo $A$ tem dois números somando $2n$.
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Princípio da Casa dos Pombos (PCP)}

{\bf Questão 4 da Lista 3:} $A \subseteq \mathbb N$. Prove que:
\begin{itemize}
\item[\textbf{(a)}] $|A|=n+1$ $\Tto\ \exists a,a'\in A$, $a\ne a'$: $a - a'$ é múltiplo de $n$.
\item[\textbf{(b)}] $|A| = n + 2$ $\Tto\ \exists a,a'\in A$, $a \ne a'$: ($a - a'$ é múltiplo de $2n$) ou ($a + a'$ é múltiplo de $2n$).
\end{itemize}
%Observe que $a - a'$ é divisível por $n$ se e somente se $a \mod n = a' \mod n$, e que $a + a'$ é divisível por $n$ se e somente se $(a \mod n) + (a' \mod n) = n$.

\vspace{0.5cm}

{\bf Solução (a):} Na divisão por $n$, existem $n$ restos possíveis (0 a $n-1$). Pelo \textbf{PCP}, $A$ tem números $a$ e $a'$ com mesmo resto na divisão por $n$. Logo $a - a'$ é múltiplo de $n$.

\vspace{0.5cm}
{\bf Solução (b):} Se $A$ tem dois números $a$ e $a'$ com mesmo resto na divisão por $2n$, então $a - a'$ é múltiplo de $2n$. OK. Suponha então, na divisão dos números em $A$ por $2n$, todos os restos são diferentes. Pela Questão 3, existe $a,a'\in A$ tais que a soma de seus restos é igual a $2n$. Portanto, $a + a'$ é múltiplo de $2n$.
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Princípio da Casa dos Pombos (PCP)}

{\bf Questão 5 da Lista 3:} Mostre que, em todo grupo de $n \geq 2$ pessoas, há duas pessoas com o mesmo número de amigos no grupo. Considere que a relação ``ser amigo'' é simétrica mas não é reflexiva.
\vspace{0.5cm}

{\bf Solução:}
Em um grupo de $n$ pessoas, os valores possíveis para número de amigos vão de 0 a $n-1$ (são $n$ valores). No entanto:
\begin{itemize}
\item Se alguém conhece $0$ pessoas, então ninguém conhece $n-1$ pessoas;
\item Se alguém conhece $n-1$ pessoas, então ninguém conhece $0$ pessoas;
\end{itemize}
\vspace{0.2cm}

Então teremos na realidade $n-1$ valores possíveis para número de amigos, pois 0 e $n-1$ se excluem mutuamente.\\
\textbf{Pelo PCP}, duas pessoas tem o mesmo número de amigos. 
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Princípio da Casa dos Pombos (PCP)}

{\bf Questão 9 da Lista 3:} Quantas são as soluções de:
\begin{itemize}
\item[\textbf{(a)}] $w+x+y+z=50$, sendo $w$, $x$, $y$ e $z$ números naturais?
\item[\textbf{(b)}] $w+x+y+z=120$, sendo $w$, $x$, $y$ e $z$ números naturais tais que pelo menos um deles é maior que 27?
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}

{\bf Solução (a):} $\binom{50+4-1}{4-1}\ =\ \binom{53}{3}$\\

\vspace{0.5cm}

{\bf Solução (b):}\\
Pelo \textbf{PCP}, alguma variável $w,x,y,z$ terá valor $\geq 30$.\\
Então a restrição sempre ocorrerá.\\
\vspace{0.2cm}
\textbf{Resposta} = $\binom{120+4-1}{4-1}\ =\ \binom{123}{3}$.
}





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\frame{\centering
\huge{\alert{Capítulo 12\\PROBABILIDADE}}
}
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\frame{
\frametitle{Capítulo 12 - Probabilidade}

Um \alert{\bf espaço de probabilidade discreto} $(\Omega,Pr)$ é dado por um conjunto $\Omega$ (chamado \cor{espaço amostral}, finito ou infinito enumerável) e uma \cor{função de probabilidade} $Pr:\Omega\to[0,1]$ tal que $\sum_{\omega\in\Omega}Pr(\omega)=1$.
\vspace{0.5cm}

\cor{\bf Exemplo:} Uma moeda não-viciada é lançada até se obter uma coroa. Seja $S$ o espaço amostral $\{1,2,3,\ldots\}$ do número de lançamentos da moeda. Determine a função de probabilidade $\PP:S\to[0,1]$. 
\vspace{0.2cm}

{\bf Solução:} $\PP(n)\ =\ (\frac{1}{2})^{n-1}\cdot(\frac{1}{2})\ =\ (\frac{1}{2})^n$\\
Note que $\sum_{n=1}^\infty\PP(n)\ =\ \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n\ =\ \frac{1/2}{1-1/2}\ =\ 1$ ({\bf soma de PG}).
\vspace{0.5cm}

\cor{\bf Exemplo:} Uma moeda viciada é lançada até se obter uma coroa, que tem probabilidade 2/3 de ocorrência. Seja $S$ o espaço amostral $\{1,2,3,\ldots\}$ do número de lançamentos da moeda. Determine a função de probabilidade $\PP:S\to[0,1]$. 

\vspace{0.2cm}

{\bf Solução:} $\PP(n)\ =\ (\frac{1}{3})^{n-1}\cdot(\frac{2}{3})\ =\ 2(\frac{1}{3})^n$\\
Note que $\sum_{n=1}^\infty\PP(n)\ =\ \sum_{n=1}^{\infty}2(\frac{1}{3})^n\ =\ \frac{2/3}{1-1/3}\ =\ 1$ ({\bf soma de PG}).
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 12 - Probabilidade}

\cor{\bf Exemplo:} Uma moeda não-viciada é lançada 5 vezes. Qual é a probabilidade de aparecer apenas uma cara? E aparecer duas caras?
\vspace{0.2cm}

{\bf Solução:} Seja C (cara) e K (coroa).\\
As possibilidades de lançamentos com 1 cara são:\\ CKKKK, KCKKK, KKCKK, KKKCK, KKKKC:\\
\vspace{0.2cm}

$\PP(\mbox{número de caras} = 0)\ =\ \binom{5}{0}/2^5\ =\ 1/32$.\\
$\PP(\mbox{número de caras} = 1)\ =\ \binom{5}{1}/2^5\ =\ 5/32$.\\
$\PP(\mbox{número de caras} = 2)\ =\ \binom{5}{2}/2^5\ =\ 10/32$.\\
$\PP(\mbox{número de caras} = 3)\ =\ \binom{5}{3}/2^5\ =\ 10/32$\\
$\PP(\mbox{número de caras} = 4)\ =\ \binom{5}{4}/2^5\ =\ 5/32$.\\
$\PP(\mbox{número de caras} = 5)\ =\ \binom{5}{5}/2^5\ =\ 1/32$.
\vspace{0.5cm}

\cor{\bf Exemplo:} Qual a probabilidade de se obter um ``\textit{four}'' no pôquer (4 cartas de uma mesmo valor em uma mão de 5)?
\vspace{0.2cm}

{\bf Solução:}
$$\PP(``\mbox{\textit{four}}'')\ =\ \frac{13\cdot 48}{\binom{52}{5}}$$
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Capítulo 12 - Probabilidade}

\cor{\bf Exemplo:} Dez dados não-viciados são lançados de modo independente. Qual é a probabilidade de nenhum mostrar o número 6?
\vspace{0.2cm}

{\bf Solução 1:}
$\PP(\mbox{Dado $i$} \ne 6)\ =\ 5/6$ para qualquer dado $i\in\{1,2,\ldots,10\}$.\\
$\PP(\mbox{Todos os Dados} \ne 6)\ =\ (\frac{5}{6})^{10}\ \approx\ 16.15\%$.\\
\vspace{0.2cm}

{\bf Solução 2:}
Número de lançamentos: $6\cdot 6\cdot\ldots\cdot 6\ =\ 6^n$.\\
Número de lançamentos sem 6: $5\cdot 5\cdot\ldots\cdot 5\ =\ 5^n$.\\
$\PP(\mbox{Todos os Dados} \ne 6)\ =\ \frac{5^{10}}{6^{10}}\ \approx\ 16.15\%$.
\vspace{0.5cm}

\cor{\bf Exemplo:} Qual é o evento mais provável numa família com 4 filhos: (A) 2 meninos e 2 meninas, ou (B) 3 de um sexo e 1 do outro? 
\vspace{0.2cm}

{\bf Solução:} Total = $2^4\ =\ 16$.\\
{\bf A:} hhmm, hmhm, hmmh, mhhm, mhmh, mmhh.\\
{\bf B:} hhhm, hhmh, hmhh, mhhh, mmmh, mmhm, mhmm, hmmm.\\
$\PP(A)\ =\ 6/16\ =\ 37.5\%$.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\PP(B)\ =\ 8/16\ =\ 50\%$.\\
}

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\frame{
\frametitle{Capítulo 12 - Probabilidade}

\cor{\bf Exemplo:} Qual é a probabilidade de 4 pessoas terem aniversário diferente? E de pelo menos duas delas terem mesmo aniversário? Assuma que ninguém nasceu em 29 de fevereiro.
\vspace{0.2cm}

{\bf Solução:} Total = $365^4$. Seja $A$ o evento ``todos aniversários diferentes''.\\
$\PP(A)\ =\ (365\cdot 364\cdot 363\cdot 362)/365^4\ =\ 98.4\%$.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\PP(\overline{A})\ =\ 1-\PP(A)\ =\ 1.64\%$.
\vspace{0.5cm}

\cor{\bf Exemplo (Problema dos aniversários):} Qual é o menor número $n$ de alunos numa sala tal que é mais provável encontrar dois alunos com a mesma data de aniversário do que o contrário?
\vspace{0.2cm}

{\bf Solução:} Pelo PCP, $n\leq 365$.\\
$$\PP(A)\ =\ \frac{365\cdot 364\cdot\ldots\cdot(365-n+1)}{365^n}.$$
Tomando \cor{\bf $n=23$}:\ $\PP(A)=49.27\%$. Portanto, $\PP(\overline{A})=50.73\%$. 
}

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\frame{
\frametitle{Seção 12.7 - Probabilidade Condicional}

\cor{\bf Exemplo:} Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual é a probab. da 1$^o$ jogada ser C (cara), sabendo que ocorreram exatamente 3 coroas (K)?
\vspace{0.2cm}

{\bf Solução:}
Seja A o evento ``1$^o$ jogada é C'' e B o evento ``exatam. 3 K's''.\\
$Pr(B)\ =\ \binom{5}{3}(\frac{1}{2})^5\ =\ 10\cdot 2^{-5}$.\ \ \ \ \ \ \ \ 
$Pr(A \wedge B)\ =\ \binom{4}{3}(\frac{1}{2})^5\ =\ 4\cdot 2^{-5}$.\\
\[
Pr(A\ |\ B)\ =\ \frac{Pr(A\wedge B)}{Pr(B)}\ =\ \frac{4\cdot 2^{-5}}{10\cdot 2^{-5}}\ =\ \frac{2}{5}
\]

\cor{\bf Exemplo:} Considere um sorteio onde objetos $1, 2, \ldots, n$ podem ser escolhidos com probab. $p_1, p_2,\ldots, p_n$, tais que $p_1+p_2+\ldots+p_n=1$.
Sabendo que o objeto sorteado foi o 1, 2 ou 3, qual a probabilidade de ter sido o objeto 1?
\vspace{0.2cm}

{\bf Solução:} Seja $A$ o evento ``foi o 1'' e B o evento ``foi o 1, 2 ou 3''.\\
$Pr(B)\ =\ p_1+p_2+p_3$.\ \ \ \ \ \ \ \ 
$Pr(A \wedge B)\ =\ Pr(A)\ =\ p_1$.\\
\[
Pr(A\ |\ B)\ =\ \frac{Pr(A\wedge B)}{Pr(B)}\ =\ \frac{p_1}{p_1+p_2+p_3}
\]
}

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\frame{
\frametitle{Seção 12.7 - Probabilidade Condicional}

\cor{\bf Problema de Monty-Hall:} \alert{Um prêmio atrás de 3 portas}. Assuma que o participante escolhe a porta 1, s.p.g. Seja $P_i$ o evento \cor{``o \textbf{prêmio} está na porta $i$''} e seja $A_j$ o evento \cor{``MH \textbf{abriu} a porta $j$''} (sem o prêmio principal).
\vspace{0.2cm}

$\PP(P_i\wedge A_1)=0, \forall i$.\ \ \ \ \ \ \ $\PP(P_i\wedge A_i)=0, \forall i$.\\
$\PP(P_1\wedge A_2)\ =\ \PP(P_1\wedge A_3)\ =\ \PP(P_1)/2\ =\ \alert{1/6}$.\\
$\PP(P_2\wedge A_3)\ =\ \PP(P_2)\ =\ \alert{1/3}$.\ \ \ \ \ \ \ \ $\PP(P_3\wedge A_2)\ =\ \PP(P_3)\ =\ \alert{1/3}$.\\

\vspace{0.2cm}
$\PP(A_2)=\PP(A_2\wedge P_1)+\PP(A_2\wedge P3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\ =\ \alert{1/2}$.\\
$\PP(A_3)=\PP(A_3\wedge P_1)+\PP(A_3\wedge P2)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\ =\ \alert{1/2}$. \ \ \ \ \ \textbf{Portanto:}
\[
\PP(P_1\ |\ A_2)\ =\ \frac{\PP(P_1\wedge A_2)}{\PP(A_2)}\ =\ \frac{1/6}{1/2}\ =\ \mathbf{1/3}
\]
\[
\PP(P_3\ |\ A_2)\ =\ \frac{\PP(P_3\wedge A_2)}{\PP(A_2)}\ =\ \frac{1/3}{1/2}\ =\ \cor{\mathbf{2/3}}
\]
\[
\PP(P_1\ |\ A_3)\ =\ \frac{\PP(P_1\wedge A_3)}{\PP(A_3)}\ =\ \frac{1/6}{1/2}\ =\ \mathbf{1/3}
\]
\[
\PP(P_2\ |\ A_3)\ =\ \frac{\PP(P_2\wedge A_3)}{\PP(A_3)}\ =\ \frac{1/3}{1/2}\ =\ \cor{\mathbf{2/3}}
\]
}

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\frame{
\frametitle{Seção 12.7 - Probabilidade Condicional}

\cor{\bf Problema de Monty-Hall:} \alert{E se fossem 4 portas?}
\vspace{0.2cm}

$\PP(P_i\wedge A_1)=0, \forall i$.\ \ \ \ \ \ \ $\PP(P_i\wedge A_i)=0, \forall i$.\\
$\PP(P_1\wedge A_2)\ =\ \PP(P_1\wedge A_3)\ =\ \PP(P_1\wedge A_4)\ =\ \PP(P_1)/3\ =\ \alert{1/12}$.\\
$\PP(P_2\wedge A_3)\ =\ \PP(P_2\wedge A_4)\ =\ \PP(P_2)/2\ =\ \alert{1/8}$.\\
$\PP(P_3\wedge A_2)\ =\ \PP(P_3\wedge A_4)\ =\ \PP(P_3)/2\ =\ \alert{1/8}$.\\
$\PP(P_4\wedge A_2)\ =\ \PP(P_4\wedge A_3)\ =\ \PP(P_4)/2\ =\ \alert{1/8}$.\\

\vspace{0.2cm}
$\PP(A_2)=\PP(A_2\wedge P_1)+\PP(A_2\wedge P_3)+\PP(A_2\wedge P_4)=\frac{1}{12}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\ =\ \alert{1/3}$.\\
$\PP(A_3)=\PP(A_3\wedge P_1)+\PP(A_3\wedge P_2)+\PP(A_3\wedge P_4)=\frac{1}{12}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\ =\ \alert{1/3}$.\\
$\PP(A_4)=\PP(A_4\wedge P_1)+\PP(A_4\wedge P_2)+\PP(A_4\wedge P_3)=\frac{1}{12}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\ =\ \alert{1/3}$. \ \ \ \ \ \textbf{Portanto:}
\[
\PP(P_1\ |\ A_2)\ =\ \frac{\PP(P_1\wedge A_2)}{\PP(A_2)}\ =\ \frac{1/12}{1/3}\ =\ \mathbf{\mathbf{1/4}}\ =\ \PP(P_1\ |\ A_3)\ =\ \PP(P_1\ |\ A_4)
\]
\[
\PP(P_2\ |\ A_3)\ =\ \frac{\PP(P_2\wedge A_3)}{\PP(A_3)}\ =\ \frac{1/8}{1/3}\ =\ \cor{\mathbf{3/8}}\ =\ \PP(P_2\ |\ A_4)
\]
\textbf{Igualmente:} $\PP(P_3 | A_2) = \PP(P_3 | A_4) = \PP(P_4 | A_2) = \PP(P_4 | A_3) = \cor{\mathbf{3/8}}$.
}

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\frame{
\frametitle{Seção 12.7 - Probabilidade Condicional}

\cor{\bf Problema de Monty-Hall:} \alert{E se fossem 5 portas?}
\vspace{0.2cm}

$\PP(P_i\wedge A_1)=0, \forall i$.\ \ \ \ \ \ \ $\PP(P_i\wedge A_i)=0, \forall i$.\\
$\PP(P_1\wedge A_2) = \PP(P_1\wedge A_3) = \PP(P_1\wedge A_4) = \PP(P_1\wedge A_5) = \PP(P_1)/4\ =\ \alert{1/20}$.\\
$\PP(P_2\wedge A_3)\ =\ \PP(P_2\wedge A_4)\ =\ \PP(P_2\wedge A_5)\ =\ \PP(P_2)/3\ =\ \alert{1/15}$.\\
$\PP(P_3\wedge A_2)\ =\ \PP(P_3\wedge A_4)\ =\ \PP(P_3\wedge A_5)\ =\ \PP(P_3)/3\ =\ \alert{1/15}$.\\
$\PP(P_4\wedge A_2)\ =\ \PP(P_4\wedge A_3)\ =\ \PP(P_4\wedge A_5)\ =\ \PP(P_4)/3\ =\ \alert{1/15}$.\\
$\PP(P_5\wedge A_2)\ =\ \PP(P_5\wedge A_3)\ =\ \PP(P_5\wedge A_4)\ =\ \PP(P_5)/3\ =\ \alert{1/15}$.\\

\vspace{0.2cm}
$\PP(A_2)=\PP(A_2\wedge P_1)+\PP(A_2\wedge P_3)+\PP(A_2\wedge P_4)+\PP(A_2\wedge P_5)=\frac{1}{20}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}\ =\ \alert{1/4}$.\ \ \ \ \ \ \ 
$\PP(A_3)=\PP(A_4)=\PP(A_5)\ =\ \alert{1/4}$. \ \ \ \ \ \textbf{Portanto:}
\[
\PP(P_1 | A_2) = \frac{\PP(P_1\wedge A_2)}{\PP(A_2)} = \frac{1/20}{1/4} = \mathbf{\mathbf{1/5}} = \PP(P_1 | A_3) = \PP(P_1 | A_4) = \PP(P_1 | A_5)
\]
\[
\PP(P_2 | A_3)\ =\ \frac{\PP(P_2\wedge A_3)}{\PP(A_3)}\ =\ \frac{1/15}{1/4}\ =\ \cor{\mathbf{4/15}}\ =\ \PP(P_2 | A_4) = \PP(P_2 | A_5)
\]
\textbf{Igualmente:} $\PP(P_3 | A_2) = \PP(P_4 | A_2) = \PP(P_5 | A_2) = \cor{\mathbf{4/15}}$.
}

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\frame{
\frametitle{Seção 12.7 - Probabilidade Condicional}

\cor{\bf Problema de Monty-Hall:} \alert{Explicação com menos contas.}
\vspace{0.2cm}

\corB{\textbf{3 portas:}} Probabilidade \alert{1/3} de estar na Porta 1 e 2/3 de não estar. Aberta a Porta 2, toda a probabilidade \cor{2/3} fica concentrada na Porta 3.\\
\vspace{0.2cm}

\corB{\textbf{4 portas:}} Probabilidade \alert{1/4} de estar na Porta 1 e 3/4 de não estar. Aberta a Porta 2, toda a probabilidade 3/4 fica concentrada nas Portas 3 e 4. Escolhendo aleat. uma dessas 2 portas, temos probabilidade \cor{3/8}.\\
\vspace{0.2cm}

\corB{\textbf{5 portas:}} Probabilidade \alert{1/5} de estar na Porta 1 e 4/5 de não estar. Aberta a Porta 2, toda a probabilidade 4/5 fica concentrada nas Portas 3, 4 e 5. Escolhendo aleat. uma dessas 3 portas, temos probab. \cor{4/15}.\\
\vspace{0.2cm}

\corB{\textbf{6 portas:}} Probabilidade \alert{1/6} de estar na Porta 1 e 5/6 de não estar. Aberta a Porta 2, toda a probabilidade 5/6 fica concentrada nas Portas 3, 4, 5 e 6. Escolhendo aleat. uma dessas 4 portas, temos prob. \cor{5/24}.
\vspace{0.2cm}

\corB{\textbf{7 portas:}} Probabilidade \alert{1/7} de estar na Porta 1 e 6/7 de não estar. Aberta a Porta 2, toda a probabilidade 6/7 fica concentrada nas Portas 3, 4, 5, 6 e 7. Escolhendo aleat. uma dessas 5 portas, temos prob. \cor{6/35}.
}

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\frame{
\frametitle{Seção 12.7 - Probabilidade Condicional}

\cor{\bf Problema de Monty-Hall:} \alert{Variação:} O apresentador abre 2 portas ao invés de 1.
\vspace{0.2cm}

\corB{\textbf{4 portas:}} Probabilidade \alert{1/4} de estar na Porta 1 e 3/4 de não estar. Abertas as Portas 2 e 3, toda a prob. \cor{3/4} fica concentrada na Porta 4.\\
\vspace{0.2cm}

\corB{\textbf{5 portas:}} Probabilidade \alert{1/5} de estar na Porta 1 e 4/5 de não estar. Abertas as Portas 2 e 3, toda a prob. 4/5 fica concentrada nas Portas 4 e 5. Escolhendo aleat. uma dessas 2 portas, temos prob. \cor{4/10}.\\
\vspace{0.2cm}

\corB{\textbf{6 portas:}} Probabilidade \alert{1/6} de estar na Porta 1 e 5/6 de não estar. Abertas as Portas 2 e 3, toda a prob. 5/6 fica concentrada nas Portas 4, 5 e 6. Escolhendo aleat. uma dessas 3 portas, temos prob. \cor{5/18}.
\vspace{0.2cm}

\corB{\textbf{7 portas:}} Probabilidade \alert{1/7} de estar na Porta 1 e 6/7 de não estar. Abertas as Portas 2 e 3, toda a prob. 6/7 fica concentrada nas Portas 4, 5, 6 e 7. Escolhendo aleat. uma dessas 4 portas, temos prob. \cor{6/28}.
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame{
\frametitle{Seção 12.7 - Probabilidade Condicional}

\cor{\bf Variação de Monty-Hall:} 100 portas. Participante escolhe Porta $\ell$.
\vspace{0.8cm}

\corB{\textbf{MH abre 98 portas}} diferentes da Porta $\ell$ e sem o prêmio. Seja $k$ a única porta não aberta.
Probabilidade \alert{1\%} de estar na Porta $\ell$ e 99\% de não estar. Após abrir as portas, toda a prob. \cor{99\%} se concentra na Porta $k$.\\
\vspace{0.5cm}

\corB{\textbf{MH abre 97 portas}} diferentes da Porta $\ell$ e sem o prêmio. Sejam $k_1$ e $k_2$ as únicas portas não abertas.
Probabilidade \alert{1\%} de estar na Porta $\ell$ e 99\% de não estar. Após abrir as portas, toda a prob. 99\% se concentra nas Portas $k_1$ e $k_2$. Escolhendo uma das duas aleat., temos prob. \cor{49.5\%}
\vspace{0.5cm}

\corB{\textbf{MH abre 96 portas}} diferentes da Porta $\ell$ e sem o prêmio. Sejam $k_1$, $k_2$ e $k_3$ as únicas portas não abertas.
Probabilidade \alert{1\%} de estar na Porta $\ell$ e 99\% de não estar. Após abrir as portas, toda a prob. 99\% se concentra nas Portas $k_1$, $k_2$ e $k_3$. Escolhendo uma das três aleat., temos prob. \cor{33\%}
}






\end{document}
